Bonjour,
si on a un groupe G fini donc toute partie de G est fini d'ou l'ensemble des sous groupe est fini hein ?
mais pour la réciproque je vois pas comment faire : (
bonjour thierryPoma,
Je ne comprends pas le sens de ta réponse, Gorilledeter veut montrer que si l'ensemble S des sous-groupes H d'un groupe G est fini alors G est fini.
Bonjour Domorea,
salut
hypothèse : l'ensemble des sous-groupes d'un groupe G est fini
1/ si G possède un sous-groupe H d'ordre infini alors il existe un élément h de H d'ordre infini et alors <h> est isomorphe à Z qui possède une infinité de sous-groupes ... tout comme G : absurde
donc tous les sous-groupes de G sont (d'ordre) fini(s)
2/ G est réunion fini de sous-groupes finis donc G est fini
Bonjour carpediem
Bonjour,
Certes, mais l'on peut écrire que et , comme l'ensemble des sous-groupes de est fini, il existe donc un ensemble fini et une famille finie tel que . Après, l'on connaît la suite !
Bonjour à tous.
Je propose ceci :
On suppose que est d'ordre infini. On veut montrer que le cardinal de l'ensemble de ses sous-groupe est infini. Soit l'ensemble de ses sous-groupes.
On considère l'application .
Ma conjecture : est injective.
Pour cela distinguer trois cas pour
est d'ordre fini et est d'ordre infini : c'est trivial
et sont tous deux d'ordre infini : n = 1 doit convenir
et sont tous deux d'ordre fini : écrire qu'il existe un n tel que et aboutir à une absurdité.
Conclure sur le cardinal de G.
Complément :
et sont tous deux d'ordre fini : écrire qu'il existe un n tel que (ng = g') et qu'il existe un n' tel que (n'g' = g) et aboutir à une absurdité.
Parce que tel que je l'ai écrit, Luzak va m'opposer le même contre-exemple ...
On va dire les choses plus simplement :
et sont tous deux d'ordre fini :
- Si l'un n'est pas inclus dans l'autre, alors c'est encore OK
- Il suffit donc de montrer que si l'un est inclus dans l'autre, alors ils ne peuvent être égaux.
J'avais compris.
Si on parle que de maths : c'est marqué sur mon pseudo - niveau master ... mais c'est plutôt un niveau estimé à la où je me suis arrêté : DEA pour être précis. Je ne suis pas enseignant, pas en reprise d'études, pas agreg, pas capes, pas de concours, bref ! rien des options couramment proposées par le site ... juste passionné par la matière
Désolé mais je ne vois pas en quoi "il n'y a qu'un nombre fini de sous-groupes" implique " si un sous-groupe est d'ordre infini il y a aussi un élément d'ordre infini "...
Bonjour,
Suite à mon message du 23-01-17 à 08:39 et de mon boulot: Écrivons que
Or, par hypothèse, l'ensemble des sous-groupes de est fini. Donc il existe nécessairement un ensemble fini d'indices et une famille tels que
De plus, l'existence d'un au moins tel que entrainerait du coup que admettrait autant de sous-groupes que dans , i.e. une infinité dénombrable (nous les connaissons tous !) ; ce qui nous conduirait inévitablement à une contradiction. Comme l'on vient d'établir que est nécessairement fini pour tout , il s'ensuit que l'est aussi. Est-ce correct ?
Bonjour ThierryPoma.
Je suis d'accord.
Et sauf erreur, ce que tu proposes trouve une formulation équivalente dans ce que je propose le 23-01-17 à 09:48 et suivants. Peut-être ta preuve propose moins de cas que moi, puisque l'existence d'un seul monogène infini mets ce sous-groupe en isomorphie (magnifique expression !!) avec , lequel possède une infinité de ss-groupe.
Du coup, je te retourne la question : ce que j'ai fait te paraît-il correct ? (indépendamment du fait que ce soit un petit plus lourd que ce que tu as fait !) Merci à toi pour ta réponse.
oui effectivement c'est plus mieux bien ... comme le dit ThierryPoma et permet de répondre à l'argument de luzak mais c'est exactement ce quoi t'est-ce que je voulions dire ...
et donc j'aurais du plutôt l'écrire différemment :
hypothèse : G possède un nombre fini de sous-groupes
1/ si <g> n'est pas fini alors il est isomorphe à Z et contient une infinité de sous-groupes donc G aussi : contradiction
2/ G est l'union fini (par hypothèse sur G) des <g> qui sont finis
cependant il reste quand même une question en suspend :
si quel est l'ordre de g ?
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