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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Génératrice de Dirichlet
Posté par Matplotlib
Bonjour,
Je considère une fonction arithmétique ainsi que sa génératrice de Dirichlet
pour
(l'abscisse d'absolue convergence).
Je suppose que pour tout complexe
d'un ouvert non vide
de
sur lequel les deux génératrices sont absolument convergentes. Comment montrer que
?
J'ai voulu développer : où la permutation des deux sommes est licite, puisque par l'absolue convergence, la famille est sommable (famille en deux indices).
J'obtiens donc, en supposant que , en identifiant les deux séries entières des fonctions holomorphes sur le domaine
:
J'ai bien l'impression que c'est suffisamment d'information pour conclure, mais je ne vois pas comment...
Un peu d'aide serait la bienvenue, je ne trouve pas de littérature sur le sujet !
Par linéarité il suffit de prouver que si D_f(s) est nul sur son demi plan de convergence (absolue) alors f est null. Place toi dans le demi plan de convergence absolue et essaie d'estimer f(k) pour k le plus entier tel que f(k) soit non nul .
Tu devrais pouvoir le majorer par une constante fois (k/(k+1))^(s-s_0) ou s_0 est l'abscisse de convergence absolue. A partir de la, il te sera facile de conclure.