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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Génératrice de Dirichlet

Posté par
Matplotlib
01-10-18 à 23:45

Bonjour,
Je considère une fonction arithmétique f:\mathbb{N}^\star\to\mathbb{C} ainsi que sa génératrice de Dirichlet D_f(s)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{f(k)}{k^s} pour \Re(s)>\sigma_a (l'abscisse d'absolue convergence).

Je suppose que D_f(s)=D_g(s) pour tout complexe s d'un ouvert non vide \mathscr{V} de \mathbb{C} sur lequel les deux génératrices sont absolument convergentes. Comment montrer que f=g ?

J'ai voulu développer : \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{f(k)}{k^s}=...=\sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{\ell=0}^{+\infty}\frac{(-1)^\ell\text{log}^\ell(k)f(k)}{\ell!}s^\ell=\sum_{\ell=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^\ellf(k)\text{log}^\ell(k)}{\ell!}\right)s^\ell où la permutation des deux sommes est licite, puisque par l'absolue convergence, la famille est sommable (famille en deux indices).

J'obtiens donc, en supposant que D_f(s)=D_g(s), en identifiant les deux séries entières des fonctions holomorphes sur le domaine \mathscr{V} : \forall\ell\in\mathbb{N},\sum_{k=1}^{+\infty}f(k)\log^\ell(k)
J'ai bien l'impression que c'est suffisamment d'information pour conclure, mais je ne vois pas comment...

Un peu d'aide serait la bienvenue, je ne trouve pas de littérature sur le sujet !

Posté par
Poncargues
re : Génératrice de Dirichlet 02-10-18 à 09:01

Par linéarité il suffit de prouver que si D_f(s) est nul sur son demi plan de convergence (absolue) alors f est null. Place toi dans le demi plan de convergence absolue et essaie d'estimer f(k) pour k le plus entier tel que f(k) soit non nul .
Tu devrais pouvoir le majorer par une constante fois (k/(k+1))^(s-s_0) ou s_0 est l'abscisse de convergence absolue. A partir de la, il te sera facile de conclure.

Posté par
Matplotlib
re : Génératrice de Dirichlet 02-10-18 à 18:56

Oh c'est parfait, ça fonctionne à merveille ! Merci beaucoup !



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