Bonjour, il faut faire apparaître l'équation d'une cercle : qui décrit une cercle de centre et de rayon R.

Bonjour,
Tu dois la mettre sous la forme (x-a)²+(x-b)²-c²=0

D'accord! Mais alors un autre soucis me viens à l'esprit comment je dois m'y prendre pour factoriser 6? ou 10? Je devrai le mettre sous sa forme racine carré?

Tu prends x²+6x comme le début d'une identité remarquable : (x+3)²=x²+6x+9

donc x²+6x=(x+3)²-9

De même pour y²-10y

Tu fais comme pour les équations du second degré quand tu devais trouver la forme
Tu considère x²+6x comme le début d'un carré. Pareil pour y²-10y.

Ton cours te dit très probablement qu'un cercle de centre L(a;b) et de rayon R admet pour équation cartésienne (x-a)² + (y-b)² = R².

L'idée est donc de transformer l'équation x²+y²+6x-10y+21=0 sous la forme (x-a)² + (y-b)² = R².

Mais alors tu me diras "OK mais comment faire ?".

Eh bien, il faut repérer les termes qui contiennent du "x" et les termes qui contiennent du "y" :
- termes qui contiennent du "x" : x² + 6x ;
- termes qui contiennent du "y" : y² - 10y.

Pour plus de facilité, je vais détailler le raisonnement pour les termes qui contiennent du "x". En fait, il s'agit de se dire que "x² + 6x", est le début de l'identité remarquable "x² + 6x + 9".

Comment je le sais ? Eh bien il suffit de remarquer que "x² + 6x" est le début de "a² + 2ab + b²" où :
- x joue le rôle de a ;
- 3 joue le rôle de b.

Du coup, on peut dire que x² + 6x = (x² + 6x + 9) - 9 : on complète l'identité remarquable "en entier" et on enlève ce que l'on a ajouté en trop (ici, "9").

Et du coup, comme tes connaissances issues du collège t'indiquent que a² + 2ab + b² = (a + b)², si on remplace a par x et b par 3, cela donne x² + 6x = (x² + 6x + 9) - 9 = (x + 3)² - 9.

Exactement de la même façon, on trouve que y² - 10y = (y² - 10y + 25) - 25 = (y - 5)² - 25.

D'où, .

On a alors : .

On a bien obtenu une équation de la forme (x-a)² + (y-b)² = R² avec :
- a = -3 ;
- b = 5 ;
- .

Donc, (C2) est un cercle de centre L(-3 ; 5) et de rayon .

Et voilà !