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Niveau terminale
Géométrie analytique euclidienne : distance d'un point à un plan
Posté par JohnHyene
Bonjour!
Je sèche sur un truc un peu idiot. Pourriez vous m'aider?
Je dois trouver la distance d'un point à un plan à partir du vecteur normal du plan (n), du vecteur partant de l'origine et aboutissant au point (p) et d'un vecteur partant de l'origine et aboutissant à un point du plan (x).
Pour trouver la distance, on fait : d=|1n.x-1n.p| où 1n est le vecteur normal unitaire.
Je ne comprend pas pourquoi ce serait différent de : d=|n.x-n.p|
Lorsqu'on fait un produit scalaire n.x, on projette pourtant orthogonalement x sur n. Pareil pour 1n.x. Quelle est la différence?
Merci.
?? je ne comprends pas ta question .
un produit scalaire c'est un produit entre 2 vecteurs.
n est un vecteur, mais x est un point ?
...
Non non, x n'est pas un point. C'est le vecteur partant de l'origine et aboutissant à un point x, situé sur le plan. Mais je n'arrive pas à mettre une flèche au dessus pour écrire de la bonne manière. C'est la même chose pour p.
Merci d'essayer de m'aider 
.
ici, ce n'est pas un problème de projection,
mais un problème de notation .
n est un vecteur normal au plan.
1n est un vecteur unitaire normal au plan --> ||1n|| = 1
...
J'ai bien compris ça, mais pourquoi fait-on le produit scalaire avec le vecteur unitaire normal au plan et pas avec le vecteur normal.
Je pensais que ça revenait au même. Pour moi il s'agit à chaque fois de projeter orthogonalement un vecteur sur le vecteur normal. Ne devrait-on pas arriver au même résultat?
les produits scalaires (u.n) et (u.1n) sont différents
même si les projections de u sur n et de u sur 1n sont identiques.
...
soit h la projection de u sur n
u.n = h . n = ||h|| * ||n||
u.1n = h . 1n = ||h|| * ||1n|| = ||h||
et donc u.n 
u .1n
...
Merci de ton aide!
D'un point de vue analytique c'est évident, mais si on travaille géométriquement je n'arrive pas à comprendre. Cela reste la projection orthogonale de u sur n, il ne peut y en avoir qu'une non?
Ou alors il ne faut pas voir le produit scalaire comme quelque chose de géométrique?
Citation :
Cela reste la projection orthogonale de u sur n, il ne peut y en avoir qu'une non?
Cela reste la projection orthogonale de u sur n, il ne peut y en avoir qu'une non?
tout à fait. la projection h est unique.
mais le produit scalaire est un produit de normes.
et le norme de n n'est pas la norme de 1n.
...
D'accord, je vais retenir ça alors :
La projection est unique, mais il faut voir le produit scalaire comme un produit de normes.
Merci de ton aide et bonne journée!