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Niveau terminale
Géométrie dans l'espace
Posté par Dcamd
Bonjour, quelqu'un saurait-il résoudre :
Soit A,B,C,D quatre points distincts de l'espace. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si :
AC² + BD² = AD²+ BC²
Merci
allez, @++++
Posté par Shadyfj (invité)re : Géométrie dans l'espace
Bonjour, il suffit d'appliquer pythagore à 4 triangles rectangles. Mais bon si tu y tiens y'a sûrement une manière plus élégante avec le produit scalaire.
Bonsoir
AC² + BD² = AD² + BC² <=> CA² - CB² -( DA² - DB² ) = 0<=>
(CA-CB).(CA+CB) - (DA-DB).(DA+DB) = 0 <=> BA.(CA+CB)- BA.(DA+DB) = 0 <=>
BA.(CA+CB-DA-DB)=0 <=> BA.(CA+CB+AD+BD) = 0 <=> BA.(CD+CD) = 0 <=>
BA.2CD = 0 <=> BA.CD=0 <=> BA orthogonale à CD
A+