Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Groupe abélien et arithmétique

Posté par
Vantin
07-08-22 à 17:41

* Modération > forum modifié *Bonjour, je révise un peu l'algèbre afin de préparer la rentrée mais je bloque sur un exercice (il s'agit de la 3ème question mais je ne suis pas contre une relecture de mes deux premières questions. Voici l'exercice:

Soient G un groupe abélien fini et x et y dans G. On note m l?ordre de x et n celuide y.
a) Montrer que l?ordre de xy divise ppcm(m, n) mais qu?il n?y a pas toujours ´egalit´e.

Réponse:  (xy)^{mn} = x^{mn}\cdot y^{mn} = (x^{m})^{n}\cdot(y^{n})^{m} = e  
Donc l'ordre de xy divise mn.  De plus, ppcm(m,n)*pgcd(m,n)=mn avec    pgcd(m,n)\in Z    donc mn divise ppcm(m,n)
En résumé, l'ordre de xy divise mn or ce produit divise ppcm(m,n), donc l'ordre de xy divise ppcm(m,n).
Maintenant on veut montrer que le ppcm(m,n) ne divise pas forcément l'ordre de xy, donc l'idée pour trouver un contre exemple c'est de prendre l'ordre de xy < ppcm(m,n).
En posant  x=y et  m=n=4 , on a   x^4 = (x^2)^2 =e  \Longleftrightarrow (xy)^2= e   donc l'ordre de xy
est 2 mais ppcm(4,4)= 4 et 4 ne divise pas 2.

b) Montrer que si m et n sont premiers entre eux alors xy est d?ordre mn
Dans la question 1, on a montré que Ord(xy) divise ppcm(m,n) or ppcm(m,n) = mn car pgcd(m,n)=1
Donc Ord(xy) | mn

On remarque que:
 (xy)^{Ord(xy)}  = x^{Ord(xy)} \cdot y^{Ord(xy)}
Donc par définition de l'ordre, m et n divise Ord(xy).
De plus, pgcd(m,n)=1 donc mn divise Ord(xy)
Donc mn =  Ord(xy)

c) Montrer qu?il existe un élément de G d?ordre ppcm(m, n).
Si pgcd(m,n)=1, alors xy \in G répond à la question.
Maintenant on traite le cas général avec pgcd(m,n)=d
ppcm(m,n)= mn/d
Ord(x)=n et Ord(y) = n
Mon raisonnement c'est de dire que:
Ord(x^d) = m/d donc Ord(y\cdot x^d) = ppcm(m,n)
mais je ne sais pas trop si c'est juste...

d) Montrer que le groupe Z/mZ × Z/nZ ,+est
cyclique si et seulement si m et n sont premiers entre eux

Je rédige une réponse plus tard pour celle là étant donné que je bloque sur la question d'avant

* Sylvieg Edit > Un énoncé plus facile à lire a été posté le 17/08 à 7h39 *

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 07-08-22 à 17:46

salut

quand j'écris ppcm (m, n) pgcd (m, n) = mn je dirai plutôt que c'est ppcm (m, n) qui divise mn ... et pas le contraire !!



(et je t'invite à le vérifier sur des exemple concrets : il est relativement évident que ppcm (m, n) mn)

pour montrer ce qui est demandé je t'invite plutôt à poser d = pgcd (m, n) et écrire m = du et n = dv avec (u, v) = 1 ...

Posté par
Ulmiere
re : Groupe abélien et arithmétique 07-08-22 à 19:09

Et par ailleurs, le fait que d divise pq n'implique pas que d divise p, à moins que d soit premier avec q.
Par exemple 12 divise 60 = 6 * 10 mais ne divise ni 6 ni 10.

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 07-08-22 à 20:56

Je plaide coupable, pourtant je comprends la définition d'un diviseur et celle du ppcm je vois pas pourquoi je me suis trompé, du coup ma preuve de la question a  est fausse, en voici une nouvelle:

 Ord(xy) | ppcm(m,n) \Longleftrightarrow (xy)^{ppcm(m,n)}=e
ppcm(m,n)= m \cdot k_1   avec   k_1 \in Z
ppcm(m,n) = n \cdot k_2   avec   k_2 \in Z
(xy)^{ppcm(m,n)}=x^{ppcm(m,n)}\cdot y^{ppcm(m,n)} = (x^n)^{k_1} \dot (y^n)^{k_2} = e

Pour la question 3, je vois pas en quoi plutôt à poser d = pgcd (m, n) et écrire m = du et n = dv avec (u, v) = 1 me permet d'avancer...

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 07-08-22 à 21:37

je ne comprends toujours pas ton raisonnement ... puisque tu pars de ce qui est demandé

soient m et n les ordres de x et y et posons d = pgcd (m, n) et m = du et n = dv avec (u, v) = 1 ...

alors ppcm (m, n) = duv

or (xy)duv = ....

donc ...

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 08-08-22 à 00:02

Nous parlons toujours de la question 1 ?  Je ne vois pas ce qui pose problème de partir de  xy^{ppcm(m,n)}   vu que le but est de montrer que c'est égal au neutre, le raisonnement me paraît juste et amene à la conclusion souhaitée.

Si je reprends ce que tu as ecris,
 (xy)^{duv}=x^{duv}\cdot  y^{duv}=(x^m)^v \cdot (y^n)^v= e
Donc l'ordre de l'élément xy divise duv = ppcm(u,v)

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 08-08-22 à 00:04

Je voulais écrire ppcm(m,n) à la fin !

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 08-08-22 à 12:34

Vantin @ 07-08-2022 à 17:41

De plus, ppcm(m,n)*pgcd(m,n) = mn avec    pgcd(m,n)\in Z    donc mn divise ppcm(m,n)
En résumé, l'ordre de xy divise mn or ce produit divise ppcm(m,n), donc l'ordre de xy divise ppcm(m,n).
est faux !!!

carpediem @ 07-08-2022 à 17:46

quand j'écris ppcm (m, n) pgcd (m, n) = mn je dirai plutôt que c'est ppcm (m, n) qui divise mn ... et pas le contraire !!



(et je t'invite à le vérifier sur des exemple concrets : il est relativement évident que ppcm (m, n) mn)

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 08-08-22 à 13:28

Oui j'ai compris que c'était faux , je l'ai dis précédemment que je m'étais trompé par rapport à ça «  je plaide coupable… » et j'ai proposé un nouvel argument pour la question a

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 08-08-22 à 14:50

ok à 00h02 ...  avec un u à la place d'un v ... au bon endroit ...

c/ il suffit de trouver les bons exposants à g = x^? y^? de façon à ce que g^{ppcm (x, y)} = e

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 09-08-22 à 09:08

Bonjour,
Je n'ai pas compris la démonstration de b).
En particulier ceci :

Citation :
Donc par définition de l'ordre, m et n divise Ord(xy)

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 09-08-22 à 22:50

Pour la b,
Je vais essayer de reprendre car j'avoue que c'est assez confus:
 \forall k \in Z, (xy)^{k} =e  \Longleftrightarrow x^{k} \cdot y^{k} =e \Rightarrow (x^{k})^{-1}= y^{k} \Longleftrightarrow Ord(x^k)= Ord(y^{k})
Par définition de l'ordre,   Ord(x^k) |m   et Ord(x^k) |n    or pgcd(m,n)=1 càd  Ord(x^k)= Ord(y^k)=1
 x^k = y^k = e   donc m divise k et n divise k or pgcd(m,n)=1 donc mn divise k, comme k c'est l'ordre et tous ses multiples, en particulier mn divise Ord(xy) !


Par contre pour la c, je suis un peu perdu pour trouver les candidats en exposant

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 10-08-22 à 08:25

Oui, c'est confus...
Tout d'abord, tu confonds propriété avec définition.
La notion de divisibilité n'apparaît pas dans la définition de l'ordre d'un élément d'un groupe.
Après, tu abuses des et .
Pourquoi ne pas utiliser d'entrée l'ordre de xy ?

J'essaye de clarifier ta démonstration :
Soit k l'ordre de xy ; on a donc (xy)k = e.
Alors (xk)-1 = yk.
Or Ord(a-1) = Ord(a) ; donc Ord(xk) = Ord(yk). Soit d cet entier.
Par ailleurs, on a xm = e ; donc (xk)m = e.
D'où, par propriété de l'ordre d de xk : d divise m.
De même : d divise n.
Or les entiers m et n sont supposés premiers entre eux ; donc d = 1.
D'où Ord(xk) = 1. Ce qui implique xk = e.
D'où, par la même propriété de l'ordre, on en déduit que m divise k.
De même n divise k.
D'où mn divise k car m et n sont premiers entre eux.

C'est un peu long. Il y a peut-être plus court.

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 10-08-22 à 19:41

on peut faire un peu mieux ... éventuellement ...

soit k l'ordre de xy donc (xy)^k = e \iff x^k y^k = e   (*)

on élève à la puissance m : (*) \iff y^{km} = e

or n = ord (y) est premier avec m donc n divise k

et de même en élevant (*) à la puissance n alors m divise k

...

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 10-08-22 à 20:37

D'accord merci pour ces remarques sur la question 2 cependant c'est sur la troisième question que je bloque, quelqu'un pourrait m'éclairer ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 10-08-22 à 20:42

Bonsoir carpediem,
Oui, c'est mieux
Je remplacerais bien une des équivalence par une implication :

(*) \Rightarrow y^{km} = e

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 10-08-22 à 20:45

Sylvieg : oui c'est mieux aussi !!

Vantin ;

carpediem @ 08-08-2022 à 14:50

c/ il suffit de trouver les bons exposants à g = x^? y^? de façon à ce que g^{ppcm (x, y)} = e

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 10-08-22 à 20:48

et ça viendra de

carpediem @ 07-08-2022 à 21:37

soient m et n les ordres de x et y et posons d = pgcd (m, n) et m = du et n = dv avec (u, v) = 1 ...

alors ppcm (m, n) = duv

or (xy)duv = ....

donc ...

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 12-08-22 à 12:16

Bonjour, oui j'ai bien lu tes réponses mais ça ne m'a pas débloquer pour autant de le répéter...
Etant donné que j'avais déjà fais une proposition à mon premier message mais que tu ne m'as pas confirmé ou infirmé sa validité je m'en risque à une autre:
Si on veut  g^{ppcm(x,y)}=e} alors si on prend
 g=x^{pgcd(m,n)/n}\cdot y^{pgcd(m,n)/m}
Alors  g^{ppcm(x,y)}=x^{m}\cdot y^{n}=e
Mais le problème de ces exposants c'est qu'ils sont pas entiers ce qui me fait douter de cette proposition.

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 12-08-22 à 13:37

je regarderai par exemple g = x^v y^u ...

il est clair que g^{duv} = e ...

peut-on avoir moins que duv ?

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 01:11

Oui,  g^{duv} = e , je l'ai retrouvé par le calcul donc
  Ord(g) | duv  
Peut t-on avoir moins que duv ? je ne pense pas autrement dit on veut montrer que duv est l'ordre de g pour cela il ne reste plus qu'à montrer
[ tex] duv | Ord(g) [/tex] et bien que cette question soit similaire à la question d'avant, je n'arrive pas à le démonter

Posté par
malou Webmaster
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 09:55

Bonjour à tous,

Vantin, tu t'es inscrit avec le profil "licence maths 1re année" et tu postes alternativement et au niveau 1re année et aux niveau supérieurs. Qu'en est-il, qu'on cerne mieux "ton bagage" ?

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 13:19

Bonjour Malou , je rentre en L3 PI maths info en septembre et lorsque je soumets un exercice de niveau l1 c'est que j'ai retravaillé  un de mes exercices de l1 (ou alors que j'étais en l1 quand j'ai posté le problème ) et lorsque je mets l2/l3 c'est qu'il s'agit d'un des exercices qu'il m'a été donné cette année, en revanche celui ci il n'a été que brièvement survolé donc j'ai un peu de mal

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 13:47

puisque u et v sont premiers entre eux alors si k est un diviseur de duv alors k divise du ou (exclusif) k divise dv

on peut alors écrire du = kq ou dv = kq et regarder ce qui se passe pour g^k ... (il suffit de ne traiter qu'un cas) ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 15:03

Bonjour,

Citation :
puisque u et v sont premiers entre eux alors si k est un diviseur de duv alors k divise du ou (exclusif) k divise dv

Avec d =2, u =3 et v =5, le produit duv divise duv mais ni l'entier du ni l'entier dv.
Plus généralement, si u et v ne sont pas égaux à 1, duv ne divise ni du ni dv.

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 17:59

oui ça ne va pas du tout !!!
merci Sylvieg

si k est un diviseur de duv alors soit pour tout facteur premier p de k si p divise u alors il ne divise pas v (et réciproquement) puisque (u, v) = 1 ...

c'est plus propre il me semble et c'est cette idée là qu'il faut (qu'on peut ?) utiliser ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 18:02

Perso, je n'ai rien trouvé.
Si ça peut rassurer Vantin

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 18:19

ha mais que suis-je bête !!

prenons g = x^u y^v

alors g^d (x^u)^d (y^v)^d = x^m y^n = e

et évidemment d divise duv !!! (et d <> duv)

la logique du pb laisse à penser qu'on cherche un

carpediem @ 08-08-2022 à 14:50

c/ il suffit de trouver les bons exposants à g = x^? y^? de façon à ce que g^{ppcm (x, y)} = e


et évidemment si d = 1 on retombe sur un cas déjà traité ...

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 18:21

carpediem @ 14-08-2022 à 18:19

ha mais que suis-je bête !!

prenons g = x^u y^v

alors g^d {\red =} (x^u)^d (y^v)^d = x^m y^n = e

et évidemment d divise duv !!! (et d <> duv)

la logique du pb laisse à penser qu'on cherche un
carpediem @ 08-08-2022 à 14:50

c/ il suffit de trouver les bons exposants à g = x^? y^? de façon à ce que \cancel{g^{ppcm (x, y)} = e}          g^k = e pour un certain k !!


et évidemment si d = 1 on retombe sur un cas déjà traité ...

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 18:26

Que signifit <> ?
Merci Sylvieg, ça me rassure

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 18:42

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 19:45

Je vais peut être passer pour un idiot mais pour moi si  g= x^uy^v alors g à la puissance d =ppcm(m,n) vaut le neutre donc g ne peut pas être l'élément qu'on cherche d'ordre duv car d<duv et l'ordre doit être le plus petit entier possible donc l'ordre de g n'est pas duv

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 20:10

Je voulais dire d=pgcd(m,n)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 20:50

Je vais peut-être passer pour une idiote, mais moi non plus je ne comprends pas

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 21:01

oui je me suis mélangé les pinceaux !!! on veut d'ordre ppcm (m, n) ...

faut dire qu'ilest difficile de savoir où on en est quand on mélange énoncé et réponse ...

(pour les prochaines fois donne l'énoncé exact et complet (ou une partie conséquente et cohérente) puis tes réponses ...

mais je persiste avec

carpediem @ 08-08-2022 à 14:50


c/ il suffit de trouver les bons exposants à g = x^? y^? de façon à ce que g^{ppcm (x, y)} = e

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 22:10

J'ai donné la totalité de l'énoncé dans le tout premier message, je mettrais mes réponses dans un deuxième message la prochaine fois...
J'essaye de reprendre ce que tu m'as dis mais je bloque toujours au même endroit:

J'essaye de construire un élément g tel que son ordre soit  ppcm(m,n)=duv avec  m = du et  n = dv.

Si on veut que  g^{duv} = e alors on peut voir que
 g = x^{\frac{1}{v}} \cdot y^{\frac{1}{u}} = (x^v)^{-1} \cdot (y^u)^{-1} = (y^u \dot x^v)^{-1} pourrait convenir.
Or   Ord(a^{-1}) = Ord(a)   donc on en revient à l'élément de carpediem  g = y^u \dot x^v   mais au moins maintenant je vois d'où ça sort,

Ensuite, on a
 g^{duv} =  (y^u)^{duv} \cdot (x^v)^{duv} = (y^{dv})^{u^2}  \cdot (x^{du})^{v^2} = e^{u^2} \cdot e^{v^2} = e   .
On note  Ord( g^{duv} ) = l , on vient de montrer que  l | duv  

Allez, il nous faut montrer que  duv | l   !!
 g^l = y^{ul} \cdot x^{vl} = e    (donc  Ord(y^{ul}) = Ord( x^{vl}) )
De plus,

 g^l = y^{ul} \cdot x^{vl} = e  \Rightarrow  y^{mul} \cdot x^{mvl} = e   
Donc  y^{mul} = e   ce qui signifie que n | mul \Longleftrightarrow dv | du^2l \Longleftrightarrow v | u^2l   or pgcd(u,v)=1 donc   v |  l  

De même,
 x^{nvl} = e   ce qui signifie que m | nvl \Longleftrightarrow du | dv^2l \Longleftrightarrow u | v^2l   or pgcd(u,v)=1 donc   u |  l  
Or pgcd(u,v)=1 donc uv | l, ce résultat est assez que douteux (peut être que je n'ai pas le droit d'écrire  u | v^2l \Rightarrow u  | l , je pense ne pas être loin mais je vois pas trop comment procéder

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 14-08-22 à 22:38

Ton résultat ne me semble pas douteux.
Tu as démontré uv divise l.
On veut démontrer duv divise l.

Peut-être que l'ordre de xdyd peut être utile ?
C'est le produit uv.

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 15-08-22 à 01:26

Si c'est utile, je n'ai pas encore compris comment je reprends cela demain

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 15-08-22 à 09:01

Bonjour,
Deux remarques qui ne font pas avancer le schmilblick :
Pour la question a), il faut supposer l'ordre du groupe supérieur strict à 1. Sinon, pas de contre exemple.

Cette égalité, dans le message de 22h10 ne va pas :   x^{\frac{1}{v}} \cdot y^{\frac{1}{u}} = (x^v)^{-1} \cdot (y^u)^{-1}
Mais elle ne servait pas à grand chose.

Posté par
Rintaro
re : Groupe abélien et arithmétique 15-08-22 à 16:42

Bonjour,

j'ai beaucoup de mal à lire toutes les réponses donc je m'excuse si je répète les nombreuses indications des intervenants comme carpediem et Sylvieg.

Pour la question (c), on peut remarquer que si p divise m (l'ordre de x), on peut trouver un élément d'ordre p dans G. Ensuite, une décomposition en nombres premiers des ordres de x et y avec la question (b) et une récurrence fait l'affaire.

Bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 08:34

Bonjour Rintaro,
Je crois avoir compris ce que tu proposes.
On considère tous les nombres premiers pi qui interviennent dans les décompositions de m et n.
Soit ai son exposant dans m et bi son exposant dans n.
Un des deux exposants peut être nul ; mais un des deux est supérieur ou égal à 1.
Soit ci le plus grand des deux.
(p_{i})^{c_{i}} divise m ou n.
Il existe donc zi dans G d'ordre (p_{i})^{c_{i}}.
Le produit de tous les zi est d'ordre le produit de tous les (p_{i})^{c_{i}}.
Ce dernier produit est le ppcm de m et n.
Est-ce bien ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 10:30

Le même en utilisant directement la décomposition du ppcm de m et n :

ppcm(m,n) = \prod_{i=1}^{f}(p_{i})^{c_{i}}
Chaque (p_{i})^{c_{i}} divise m ou n ; il existe donc z_{i} d'ordre (p_{i})^{c_{i}}.
\prod_{i=1}^{f}z_{i} répond à la question.

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 11:33

c'est un peu l'idée que je proposai à 17h59 ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 11:46

Ce n'était pas vraiment explicite.
En tous cas, ça n'a pas vraiment provoqué de déclic chez moi, ni chez Vantin.
Pour le message de Rintaro, que je remercie, le déclic n'est pas venu tout de suite car la récurrence évoquée me chiffonnait.

Le principal, c'est d'y être arrivé et que Vantin comprenne l'esprit de la chose.
En tous cas, bravo pour sa persévérance, et merci pour ce bel exercice

PS Pour la dernière question, je passe mon tour.

Posté par
Rintaro
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 13:39

Rebonjour,

désolé carpediem, loin de moi l'idée de voler tes indications !

C'est tout à fait ça Sylvieg, je parlais de récurrence pour Vantin afin qu'il démontre que le produit de tous les éléments que tu as évoqué dans ton message à 08:34 est bien d'ordre le ppcm(...), ce qui est très rapide avec la question (b).

Bonne journée à tous et bon courage à Vantin, j'espère que tu arriveras à rédiger la question (d) désormais .

Posté par
carpediem
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 14:39

Rintaro : no problemo !!

comme le dit Sylvieg ce n'était pas très explicite et en fait j'avais en tête et j'ai failli écrire comme elle la décomposition en produit de facteurs premiers puis je me suis ravisé en ne considérant que "pour un premier p de k ..."

je voulais essayer de me passer de cette décomposition avec :

si k divise ppcm (m, n) = duv alors il existe des entiers d', u' et v' avec (u', v') = 1 telle que d/d', u/u' et v/v' sont des entiers ...

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 17:39

Bonjour,
J'allais poster avec l'intention de dire que je n'avais pas réussi à montrer que d diviser l mais apparemment un changement d'approche s'est imposé ! Oui maintenant que je vois ce qu'à dit Rintaro, il me semble que mon prof avait donner cette piste !
J'avoue être un peu déçu de ne pas avoir réussi avec cet élément, j'avais vraiment l'impression de ne pas être loin.

Ok j'ai lu vos réponses mais pour être sur, je vais essayer de le reformuler

On a  Ord(x)=m \wedge Ord(y)=n et on pose P l'ensemble des nombres premiers.
D'après théorème fondamental de l'arithmétique,

 m = \prod_{p \in P} p^{\alpha_p} et  n = \prod_{p \in P} p^{\beta_p}

D'où,

 ppcm(m,n) = \prod_{p \in P} p^{max(\alpha_p,\beta_p)} .

On pose  P' = \{ p \in P, max(\alpha_p,\beta_p)>0\}

  \forall p \in P', si   max(\alpha_p,\beta_p)= \alpha_p    alors   g_p= y^{\frac{n}{p^{\alpha_p}}   sinon  max(\alpha_p,\beta_p)= \beta_p et   g_p= x^{\frac{m}{p^{\beta_p}}  

Si   max(\alpha_p,\beta_p) = \alpha_p    alors  Ord(g_p) =  p^{\alpha_p}  
Si   max(\alpha_p,\beta_p) = \beta_p   alors  Ord(g_p) =  p^{\beta_p}    
Autrement dit,   \forall p \in P', Ord(g_p) = p^{max(\alpha_p,\beta_p)}
On pose  g:= \prod_{p \in P'} g_p  . Comme les ordres sont premiers entre eux 2 à 2 et qu'il s'agit d'un produit fini d'élément car P' est fini, on peut conclure d'après la question b que

 Ord(g)=  \prod_{p \in P'} p^{max(\alpha_p,\beta_p)} = ppcm(m,n).

Posté par
Vantin
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 18:13

J'ai réussi la dernière question aussi, donc j'ai (enfin) fini !! Merci beaucoup Sylvieg et les autres !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 16-08-22 à 18:56

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Groupe abélien et arithmétique 17-08-22 à 07:39

Bonjour,
Pour une utilisation plus agréable du sujet, je reproduis ici l'énoncé de l'exercice :

Soient G un groupe abélien fini et x et y dans G. On note m l'ordre de x et n celui de y.
a) Montrer que l'ordre de xy divise ppcm(m,n) mais qu'il n'y a pas toujours égalité.
b) Montrer que si m et n sont premiers entre eux alors xy est d'ordre mn.
c) Montrer qu'il existe un élément de G d'ordre ppcm(m,n).
d) Montrer que le groupe (Z/mZ × Z/nZ ,+) est cyclique si et seulement si m et n sont premiers entre eux.

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !