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Posté par
Sylvieg Moderateurre : Groupe abélien et arithmétique 17-08-22 à 07:50

Et une solution complète proposée par Ulmiere :

Ulmiere @ 16-08-2022 à 17:59

Je vois passer ce sujet depuis plusieurs jours, mais il est difficile à lire pour diverses raisons. Je propose donc une solution complète dans ce post

a) Facile, il existe k,k' entiers tels que ppcm(m,n) = mk = nk' et le groupe est abélien donc (xy)^{ppcm(m,n)} = x^{mk}y^{nk'} = 1^k 1^{k'} = 1. Et donc ord(xy) divise ppcm(m,n).
Il n'y a pas égalité en général, comme le montre le cas y = x^{-1}, où on aura ord(xy) = ord(1) = 1 \neq ppcm(ord(x),ord(x)) = ord(x)

b) Notons p = ord(xy). Par définiton, 1 = (xy)^p = x^py^p, donc x^p = y^{-p}. z = x^p = y^{-p} appartient donc à la fois au groupe engendré par x et au groupe engendré par y. Or, l'ordre de ce dernier divise à la fois m = ord(x) et n = ord(y), qui sont premiers entre eux. Cela impose donc z = 1 = x^p = y^p et donc p est à la fois multiple de de ord(x) et de ord(y), donc multiple de leur ppcm, qui vaut mn. Comme p divise mn par ailleurs, et que les deux sont positifs, on a bien p = mn.

c) Celui là est assez vilain. On écrit m = \prod_{i=1}^\infty p_i^{\alpha_i} et n = \prod_{i=1}^\infty p_i^{\beta_i} les décompositions en facteurs premiers de m et n.
Soit C = \{i\geqslant 1 : \alpha_i > 0 ~et~ \beta_i > 0\} l'ensemble des indices de facteurs premiers communs à m et n.
Soit M = \{i\in C : \alpha_i \geqslant \beta_i\} et soit N = C\setminus M = \{i\in C : \alpha_i < \beta_i\}.

On peut écrire que m = m_{+}m_{-} et n = n_{+}n_{-}, avec

m_+ = \prod_{i\in M} p_i^{\alpha_i}
m_- = m/m_{+} = \prod_{i\in \N^\ast\setminus M} p_i^{\alpha_i}

et

n_+ = \prod_{i\in N} p_i^{\beta_i}
n_- = n/n_{+} = \prod_{i\in \N^\ast\setminus N} p_i^{\beta_i}.

Par construction, n_+ divise m_+, m_- divise n_-, mais surtout, pgcd(m_+, n_-) = 1.
Ce faisant, x' = x^{m_-} étant d'ordre m_+ et y' = y^{n_+} étant d'ordre n_-, la question b) nous dit que z = x'y' est d'ordre m_+n_-.

Mais comme il existe k,k' entiers tq m_+ = kn_+ et n_- = k'm_-, on a à la fois m_+n_- = kn_+n_- = kn et m_+n_- = k'm_+m_- = k'm.
L'ordre de z est alors multiple de m et n, donc de ppcm(m,n), et donc z est d'ordre ppcm(m,n).


d) Soient m et n sont premiers entre eux. (1,0) est d'ordre m et (0,1) est d'ordre n, donc (1,1) = (1,0) + (0,1) est d'ordre mn, d'après la question b). G = Z_m\times Z_n a donc un élement d'ordre égal à son cardinal, ce qui veut dire que tout élement est multiple de (1,1). G est (fini et) monogène, donc cyclique.

Réciproquement, si G est cyclique, il est isomorphe à Z/mnZ parce qu'à ismorphisme près, il n'y a qu'un seul groupe cyclique d'ordre mn.
Il s'agit donc de montrer que Z/mnZ cyclique implique m et n premiers entre eux, et dans la suite, on considérera que G = Z/mnZ. Notons aussi d le pgcd de m et n, u = m/d et v = n/d.

Par c), il existe un élément t d'ordre ppcm(m,n) = duv dans G. On peut alors construire x = vt, qui sera d'ordre \dfrac{duv}{pgcd(duv, v)} = du = m. Similairement, y = ut sera d'ordre n. De cela, on peut déduire immédiatement que \lambda = uv\cdot t est d'ordre d. L'idée de la preuve est de trouver un \omega particulier d'ordre duv comme t, mais tel que uv\omega soit d'ordre une puissance de d, ce qui montrera que d = 1.

L'ordre de x+y divise ppcm(m,n) = duv, d'après la question a). Posons donc k = duv/ord(x+y).
Puisque g = mt = dx est d'ordre u et que h = nt = dy est d'ordre v et que u et v sont premiers entre eux, la question b) nous dit que ord(g+h) = ppcm(u,v) = uv. Mais ord(g+h) est également l'ordre de d(x+y), donc vaut ord(x+y)/pgcd(ord(x+y), d) = duv/pgcd(duv, kd) = uv/pgcd(uv, k). Cela prouve que k est premier avec uv et par Gauss, que k divise d.
Mais aussi, l'ordre de d(x+y) = d(u+v)t = (m+n)t est duv/pgcd(duv, d(u+v)) = uv/pgcd(uv, u+v). Ce qui montre que u+v est premier avec uv.

Par hypothèse, il existe z \in G, d'ordre mn, tel que tout élément de G en soit multiple car G est monogène.


J'ai pas trop le temps là, mais il doit y avoir moyen de trouver un bon omega en se servant du fait que kd^2 z est d'ordre uv, et pareil avec d(u+v)t + Bézout ou quelque chose comme ça...
Peut-être essayer de montrer que d divise k, ce qui donnerait k = d et donc duv z serait d'ordre uv aussi ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Groupe abélien et arithmétique 17-08-22 à 08:23

Bonjour,
Merci Ulmiere pour cette synthèse bienvenue
Je me permets d'en faire quelques commentaires.

Pour le contre exemple du a), il faut choisir x distinct de e, le neutre du groupe.
Pour ça, il manque une hypothèse dans l'énoncé que j'ai déjà signalée : L'ordre du groupe doit être supérieur strict à 1.

Pour b), je trouve ce qu'avait écrit carpediem le10-08-2022 à 19:41 plus clair.
Extraits :
soit k l'ordre de xy donc (xy)^k = e \iff x^k y^k = e

On élève à la puissance m : y^{km} = e

Or n = ord (y) est premier avec m donc n divise k

Et de même en élevant à la puissance n alors m divise k

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Groupe abélien et arithmétique 17-08-22 à 12:28

Pour c), j'ai un peu de mal à comprendre ta démarche.
J'ai essayé de voir ce que ça donne sur un exemple :
Avec m = 233175114133172 \; et \; n = 22345372137172

m+ = 2375114172 \; et \; n+ = 3453137

m- = 31133 \; et \; n- = 2272172

Je coince ici :

Citation :
Par construction, n_+ divise m_+, m_- divise n_-, mais surtout, pgcd(m_+, n_-) = 1.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Groupe abélien et arithmétique 18-08-22 à 08:57

Bonjour,
Pour la question c), je pense qu'il y avait des coquilles dans la solution de Ulmiere.
J'ai insisté pour la comprendre, car elle répond à :

carpediem @ 08-08-2022 à 14:50


c/ il suffit de trouver les bons exposants à g = x^? y^? de façon à ce que g^{ppcm (x, y)} = e
Je vais essayer d'en donner une version sans coquille dans un autre message.

Je rappelle auparavant cette version courte de la solution de Rintaro :
Sylvieg @ 16-08-2022 à 10:30

Le même en utilisant directement la décomposition du ppcm de m et n :

ppcm(m,n) = \prod_{i=1}^{f}(p_{i})^{c_{i}}
Chaque (p_{i})^{c_{i}} divise m ou n ; il existe donc z_{i} d'ordre (p_{i})^{c_{i}}.
\prod_{i=1}^{f}z_{i} répond à la question.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Groupe abélien et arithmétique 18-08-22 à 11:12

Toujours avec m et n les ordres respectifs de x et y, il s'agit de trouver des exposants u et v tels que xuyv soit d'ordre ppcm(m,n).

Soit f le nombre de facteurs premiers qui figurent dans la décomposition du ppcm de m et n.

Si f = 0, alors m = n = 1 et x = y = e. On a x1y1 d'ordre 1 qui est le ppcm de x et y. Pas passionnant...

Si f non nul, pour i de 1 à f on peut poser :
ai l'exposant, éventuellement nul, de pi dans la décomposition de m.
bi l'exposant, éventuellement nul, de pi dans la décomposition de n.
Puis :
ci = ai \; si \; ai bi . \; ci = 0 \; sinon.
di = bi \; si \; bi > ai . \; di = 0 \; sinon.
Et encore :
m_+ = \prod_{i=1}^{f}(p_{i})^{c_{i}} \; et \; m_{-} = \dfrac{m}{m_{+}} . \; n_+ = \prod_{i=1}^{f}(p_{i})^{d_{i}} \; et \; n_{-} = \dfrac{n}{n_{+}} .
x^{m_{-}} est d'ordre m+ \; et \; y^{n_{-}} est d'ordre n+ .
D'où x^{m_{-}} \times y^{n_{-}} d'ordre m_{+}\times n_{+} qui est le ppcm de m et n.

Posté par
Ulmierere : Groupe abélien et arithmétique 18-08-22 à 11:44

Oui je me suis embrouillé avec mes indices je voulais plutôt dire

Citation :
m_- = \underbrace{\prod_{i\in M} p_i^{\alpha_i}}_{\textrm{facteurs où m domine}}\times \underbrace{\prod_{i\in\N^\ast\setminus C}p_i^{\alpha_i}}_{\textrm{facteurs de m seulement}}
m_+ = \underbrace{\prod_{i\in N} p_i^{\alpha_i}}_{\textrm{facteurs où m est dominé par n}}

n_+ = \underbrace{\prod_{i\in N} p_i^{\beta_i}}_{\textrm{facteurs où n domine}}\times \underbrace{\prod_{i\in\N^\ast\setminus C}p_i^{\beta_i}}_{\textrm{facteurs de n seulement}}
n_- = \underbrace{\prod_{i\in M} p_i^{\beta_i}}_{\textrm{facteurs où n est dominé par m}}



Comme cela on a bien
1) m_+ divise n_+ puisque sur N, on a \beta_i \geqslant \alpha_i

2) n_- divise m_- pour les mêmes raisons

3) pgcd(m_+,n_-) = pgcd(n_+,m_-) = 1 parce que M et N sont disjoints. On voit aussi clairement que n_+m_- est le ppcm(n,m). C'est la bonne vieille recette qui consiste à prendre les p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i))}


Bon, j'ai inversé les rôles de m et n, mais il suffit d'inverser m<->n et M<->N pour arriver à ce que j'annonçais dans mon c)
Ecrit comme ça, on peut supprimer totalement le paragraphe qui commence par "Mais comme", vu que c'est juste la bonne vieille recette

Posté par
Vantinre : Groupe abélien et arithmétique 18-08-22 à 22:03

Eh bien je pensais que ce post allait tomber dans l'oublie, je vais donc poster ce que j'ai fais pour la d:
Soit
On veut montrer (Z/mZ \times Z/nZ), (\overline{x},\overline{x'})+(\overline{y},\overline{y'})=(\overline{x+y},\overline{x'+y'}))   est cyclique   \Longleftrightarrow pgcd(m,n)=1

Commençons par le sens direct \Rightarrow :
On raisonne par  contraposée et on va prouver que:
pgcd(m,n)\ne 1 \Rightarrow  Z/mZ \times Z/nZ), (\overline{x},\overline{x'})+(\overline{y},\overline{y'})=(\overline{x+y},\overline{x'+y'}))   non cyclique

ppcm(m,n)= \frac{mn}{pgcd(m,n)} donc   pgcd(m,n)\ne 1 \Rightarrow ppcm(m,n)< mn
\forall (a,b) \in (Z/mZ \times Z/nZ), (\overline{x},\overline{x'})+(\overline{y},\overline{y'})=(\overline{x+y},\overline{x'+y'})), (ppcm(m,n)\cdot \overline{a},ppcm(m,n)\cdot\overline{b}) = (\overline{0},\overline{0})
Donc Ord((a,b))  | ppcm(m,n) \Leftrightarrow Ord((a,b)) \leq ppcm(m,n) \Rightarrow Ord((a,b) < mn
Or Card(Z/mZ \times Z/nZ)) = mn donc il n'y a aucun (a,b) qui soit générateur de mn éléments donc non cyclique !

Concernant  le sens indirect \Leftarrow :
Si pgcd(m,n))=1 alors xy génère tout le groupe d'après la question 2 donc cyclique car monogène et fini  ( mn<+\infty )

D'ailleurs pour l'élément donné par carpe, c'était une mauvaise piste, l'élément n'avait pas l'ordre recherché mais au final on a trouvé quand même !

C'est bizarre que le message qui est cité par Sylvieg (qui est la proposition de correction d'Ulmiere ) n'est pas visible autrement que par ta citation, je ne le vois pas posté avant

Posté par
Ulmierere : Groupe abélien et arithmétique 18-08-22 à 23:46

C'est parce que je l'avais posté dans le forum Site, sur un sujet que certains aidant utilisent pour appeler à l'aide quand un sujet est en rade

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Groupe abélien et arithmétique 19-08-22 à 08:14

Oui, j'aurais pu le signaler quand j'ai cité le message.
J'ai préféré citer que déplacer pour qu'il apparaisse après le rappel de l'énoncé.
Voici le sujet d'origine : sujet en rade

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