Propriété :

Pour tout on a

et

A partir de là comment trouver ?

Non, le fait que [a(1),a(2),a(3)]=[1,3,2] n'implique pas que a(1)=1, a(2)=3, et a(3)=2... mais pas loin.

[a(1),a(2),a(3)]=[1,3,2]

donne a(1) = 1 ; a(2) = 3 et a(3) = 2
OU BIEN a(1) = 2 ; a(2) = 1 et a(3) = 3
OU BIEN a(1) = 3 ; a(2) = 2 et a(3) = 1

Oui...

certes.. je ne trouve pas alpha pour autant..

Bon, on va traiter ça de manière tres terre à terre.
Suppose d'abord que a(1)=1, a(2)=3, a(3)=2.

Que vaut a(4)? Que vaut a donc? Est il dans A_4?

que vient faire 4 ici ?
je suis parti d'un 3-cycle.. pourquoi un 4eme élément interviendrait..

Peut etre parce qu'on est dans A_4?

bah on veut conjuguer (1, 2, 3)..

sinon bah 4 s'envoit sur 4
donc a = (2, 3)
et a est dans A2

Arrete de te precipiter, et reflechis.
On est dans A_4 (ou S_4 à la limite).
On cherche un element a de A_4 qui verifie a[1,2,3]a^{-1}=[1,3,2].
Bon, on a dit qu'on se placait dans le cas ou a(1)=1, a(2)=3 et a(3)=2...
Donc a(4)=4. Bien! C'est donc la transposition (2,3). Bien!
Est ce que cet element la est dans A_4?

non..

il n'apparait pas dans les 12 éléments que j'ai explicité

Bien!
Maintenant traite les deux autres cas (a(1)=2, et a(1)=3) et conclut pareillement.

a(1) = 2 ; a(2) = 1 et a(3) = 3

et a(4) = 4 donc a = (12)

a(1) = 3 ; a(2) = 2 et a(3) = 1

et a(4) = 4 donc a = (13)

c'est fini et j'en pouvais pu

par contre, pour former un 3-sylow, j'ai pris un 3-cycles et je l'ai mis au carré, etc. car je savais que c'était cyclique..

par contre pour les 2-sylow, c'est pareil mais pour former un groupe je n'ai pas fait comme ça, dois-je justifier comment je les ai trouvé?

Il suffit de dire par exemple qu'un 2-Sylow est d'ordre 4 et contient donc 3 elements d'ordre une puissance de 2 et il n'y en a que 3... pas trop le choix donc.

Ah d'accord ! Merci !!

Ah oui, voilà ma question !

On sait que |A_4| = 2^2 * 3

On a donc pour les 3-sylow soit 1, soit 4.
Mais les deux cas sont possibles (rapport à l'exercice de l'autre post, qui montrait que si |G| = 12 alors G n'est pas simple..).. Comment dire qu'on a forcément quatre 3-Sylow ? On peut le dire car on connait tous les éléments ?

ON a listé les 3 sylows plus haut. Où est le souci?

on les a listé, mais avant de les lister, faut-il montrer qu'il y en existe 4 ? d'ou ma question

Voici ce que je rédige pour la question : décomposer en classe de conjugaison.



Deux éléments et sont conjugués

On a .
On a donc (123) et (134) conjugués car (234)(123)(234) = (134)..
De même, (123), (134), (124), (234) sont conjugués par transitivité.
De même, (132), (143), (142), (243) sont conjugués par transitivité.
Mais (123) et (132) ne sont pas conjugués (bon on l'a prouvé ensemble, je ne le réécrit pas).
Ainsi on a A_4 = etc.

Dis-moi si ça va ?
Qu'est ce que je dis pour la classe que forme l'identité ?

Un peu de géométrie pour relever la sauce : , c'est le groupe des rotations du tétraèdre régulier. Parmi ces rotations il y a
- l'identité, qui forme une classe de conjugaison à elle toute seule,
- les demi-tours d'axe joignant les milieux d'arêtes opposées, tous conjugués entre eux,
- les rotations de d'axe orienté du milieu d'une face au sommet opposé, conjuguées entre elles
- les rotations de d'axe orienté du milieu d'une face au sommet opposé, conjuguées entre elles

Pour retrouver les éléments de comme permutations et leurs classes de conjugaison, numérote les sommets (peu importe comment) et regarde comment les rotations agissent dessus.