Salut,
Quel est l'ordre des 3 sylows dans A_4?

Bonsoir,


Les 3-sylow sont d'ordre 3, et les 2-sylow d'ordre 4

Et un groupe d'ordre 3 est...?

Bah.. ou ?

C'est quoi l'ordre de A_3?

est d'ordre .. oui donc c'est ?

Donc quels sont les elements d'ordre 3 dans A_4?

Les 3-sylow sont isomorphes à Z/3Z.. Donc les éléments d'ordre 3 sont les 3-cycles ?

Les elements d'ordre 3 sont toujours les 3 cycles.

Donc les 3- sylow sont tous les 3- cycles de A_4 ? c'est-à-dire (234) (243) (134) (143) (124) (142) (123) (132) ?

Bien sur que non, les 3-sylow sont des groupes les 3-cycles sont des elements!
Par contre il y a un rapport etroit entre les deux.

Moi j'ai donné l'ensemble des éléments faisant partis des 3-sylow..
(234) (243) (134) (143) (124) (142) (123) (132) sont 8 éléments faisant parti des 3-sylow.. chaque 3-sylow possède 3 éléments..
comment faire ?

Essaie deja d'en trouver explicitement un.
On verra apres comment les trouver tous.

|A_4| = 2^2 * 3

Soit le nombre de 3- sylow dans A_4.
On a divise 4 et donc appartient à {1, 2, 4} mais et donc pour r=0 on a = 1 et pour r=1 on a = 4.
Si = 1 alors possède un sous-groupe normal mais est simple donc on a quatre 3- sylow..

Mais apres je ne sais pas les expliciter ..

Tu sais pas trouver des groupes d'ordre 3 dans A_4? A partir d'element d'ordre 3?

bah là je dois être fatigué mais je ne comprends pas..
j'ai explicité les 8 éléments.. Je sais qu'il y a 4 groupes.. Donc déjà, chaque 3- sylow possède 3 éléments donc 1 sera commun à tous les groupes?

Les 8 elements de quoi?

Tu as simplement explicité 8 elements d'ordre 3.
Maintenant je te demande a l'aide d'un de ces elements de fabriquer une groupe d'ordre 3.

Ok je prend l'élément :




On a un premier sylow qui est : n'est-ce pas ?
De même on a les 3- sylow suivant :




Cordialement, Cyril

Je m'avance avec les sylow.



Soit le nombre de sylow.
divise donc et

Si , on aurait un unique sylow qui possèderait éléments.
Si , on aurait trois sylow qui possèderait chacun éléments.
Or ici, , , et sont les seuls éléments d'ordre restants.
Il y a donc un unique sylow qui est :
Est-ce exact ?
Si oui, est à la fois d'ordre et d'ordre car est à la fois dans les sylow et dans les sylow.. ?

L'identité est d'ordre 0.

Est-ce exact alors le reste ?

Oui ca a l'air correct. Mais tes justifications sont par moment un peu bizarre.

En fait, je n'arrive pas à prouver proprement pourquoi il n'y a qu'un unique 2- sylow.. et d'ailleurs c'est vraiment un gros problème, j'ai 2 autres posts (et 3 jours de recherches) qui me pose le même problème.. Peux-tu m'aider ?

Un 2 sylow dans ce cas est d'ordre 4, il possede soit un element d'ordre 4, soit deux elements d'ordre 2. Comme il n'y a aucun element d'ordre 4 dans A_4, un 2 sylow possede necessairement deux elements d'ordre 2, or il n'y en a que 3, et le 3eme est produit des deux autres, donc un 2 sylow est simplement le groupe engendré par deux double transposition. Il n'y en a qu'un.

Merci alors, pour bien comprendre quand même, un 2- sylow est un groupe d'ordre 4, c'est à dire que tous ses éléments sont d'ordre 4, il possède soit un élément : un 4- cycles soit 2 éléments d'ordre 2, je comprends pas car ce n'est pas d'ordre 4.

Je crois que j'ai moins bien compris :s

Un groupe d'ordre 4 ne peut jamais posseder tous ces elements d'ordre 4.
L'ordre d'un groupe c'est son cardinal. L'ordre d'un element c'est le cardinal du sous groupe engendré par cet element, ou, ce qui revient au meme, le plus petit entier n strictement positif tel que a^n=1.

(d'ailleurs au passage je me suis apercu que j'ai ecrit une coquille plus haut, l'ordre de l'indentité est bien sur 1, et pas 0)

Dans un groupe d'ordre n, tous les elements ne sont pas d'ordre n.

Dans un 2-sylow, d'ordre 4, tu auras des elements d'ordre 2, tout le temps, ce qui est discriminant c'est d'avoir des elements d'ordre 4 ou pas.

Ah merci beaucoup, je crois que la fatigue me gagne ces temps ci !
Merci !

J'ai bien compris je pense pour les questions 2 et 3 !
Par contre comment m'y prendre pour décomposer en classe de conjugaison?

Cordialement.

Dans S_4 comment tu ferais?

bah je serai dans la même mouise.. :s parce que j'ai jamais compris ces questions là..

Dans S_4 quand est ce que deux cycles sont conjugués?

quand ils ont même longueur ?

Oui, reste plus qu'a voir si les cycles de meme longueur sont toujours conjugués dans A_4.

Mais peux-tu me rappeler ce que sont deux cycles conjugués ? avec un exemple simple, je comprends pas les choses que je manipule..

je reviens en fin d'aprem.
Marmelade merci beaucoup pour ton aide.
Cyril

Dans un groupe deux elements a et b sont conjugués s'il existe p tel que a=pbp^{-1}.
Pour des cycles dans S_n cela prend une forme tres simple, pour cela ecrit ce que donne s[1,2...,k]s^{-1}, pour s une permutation quelconque.
Par exemple les cycles [1,2,3] et [1,3,2] sont conjugués dans S_3, parce que [2,3][1,2,3][2,3]=[1,3,2].
Tu comprend bien qu'une telle relation n'existe pas dans A_3.
Il te faut faire la meme chose dans A_4.

Merci pour ton éclaicissement..
Moi j'ai pensé à ça déjà..
Comme deux cycles sont conjugués ils ont même longueur il est clair que forme une classe à elle seule et qu'une classe va regrouper , et .

Pour le reste, ils sont tous de longueur 3, mais sont-ils dans la même classe ?

Pourquoi les doubles transpositions sont toutes conjuguées?
Pour les 3 cycles, c'est precisément la question que l'on te pose.

Bah les doubles transpositions sont toutes de longueur 4.. donc elles forment une classe..

Apres les 3-cycles sont tous de longuer 3, donc forme une classe aussi ?

Il y a deux types d'erreurs dans ce que tu dis.
Tu penses que [1,2,3,4] et [1,2][3,4] sont conjuguées dans S_4? Bien que de la "meme longueur"?
Ensuite [1,2,3] et [1,3,2] te semblent conjuguées dans A_3? Ils le sont dans S_3 c'est certain, mais le sont ils dans A_3?

Ouille ayaye.. je suis débordé de boulot et ça je comprends vraiment que dal.. bien sur les réponses à tes questions sont non et non...

Pour résoudre ce genre de questions tu peux procéder en deux temps. Si tu vois tout dans S_n au lieu de A_n, alors les elements sont ils conjugués? La la réponse est facile il suffit de comparer les longueurs des cycles qui interviennent dans la décomposition en produit de cycles a support disjoints (qui existe toujours et est unique).
Ensuite il faut te demander si les elements restent conjugués dans A_n, autrement dit quand tu sais qu'il existe p dans S_n tel que a=pbp^{-1}, peux tu prendre p dans A_n et pas seulement dans S_n.
Tu peux remarquer que si a=pbp^{-1}=qbq^{-1} alors q^{-1}p commute avec b. La encore si tu ecris tes permutations comme produit de cycles disjoints, la condition de commutation devient simple.

Bah dans S_n on a dit que les éléments sont conjugués \Leftrightarrow ils ont même longueur, donc dans S_n, les doubles transpos sont ensemble car de longueur 4..
Dans S_n on a donc a = pbp^{-1}, mais dan A_n, le p comment sait-on s'il peut être pris ?

Bah dans on a dit que les éléments sont conjugués ils ont même longueur, donc dans , les doubles transpos sont ensemble car de longueur 4..
Dans on a donc , mais dan , le comment sait-on s'il peut être pris ?

Honnetement je ne sais pas comment j'aurais le temps de finir ça pour vendredi Marmelade j'ai d'autres exos en cours aussi comme tu as vu et demain un Capes Blanc géométrie.. je dois réviser ce soir donc je peux pas chercher.. ne peut-on pas être plus "concret" et trouvons les classes avec les "vraies" valeurs stp  ? aide moi stp..

Cordialement, et en tout cas merci pour toute ton aide Marmelade..

Cyril.. (overbooké..)

Je t'ai donné un exemple concret, [1,2,3] et [1,3,2] conjugués dans S3 mais pas dans A3 (ou dans S4 mais pas dans A4).
Il ne te reste plus qu'a faire la meme chose avec les autres 3 cycles et les doubles transpositions.

Voici ce que je pense.

est un groupe d'ordre 12 qui comporte 3 sortes d'éléments :
- l'identité
- huit 3-cycles
- trois doubles transpositions

L'identité forme une classe à elle-seule.

Les doubles transpositions forment une classe de conjugaison car :

Par transitivité, , et sont conjugués.

Les 3-cycles forment deux classes.
donc
et sont conjugués
et sont conjugués
et sont conjugués
Par transitivité, forment une classe

De même, et sont conjugués.

Ainsi,

ERRATUM


Est-ce que mon raisonnement est bon svp ??

Presque il faut justifier que les cycles [123] et [132] ne sont pas conjugués. Et c'est bon.