Tu as sans doute compris, mais ta rédaction est très confuse.

ok je refais comme ceci:

(g,h)(a,b) =(ga,hb)
            =(ag,bh) puisque (g,h) commute.
on a un élément de G et un élément H qui commutent donc g∈ Z(G) et h∈ Z(H)
d'où le resultat

j'aurais une question :
on a vu l'ordre d'un produit de 2 groupes, si G1 est d'ordre m et G2 est d'ordre n alors l'ordre de G1*G2 est ppcm(m,n).
alors pour que ce n'est pas le cas pour S4*Z/2Z ! ce n'est un pas un peu contradictoire ?!
puisque S4 est d'ordre 24 et Z/2Z est d'ordre 2 et ppcm(24,2)=24 mais pas 48

Ne confonds-tu pas avec : si dans un groupe abélien G on a un élément g d'ordre m et un élément h d'ordre n, alors l'ordre de gh est un diviseur du ppcm de m et n ?

ah oui peut être que je confond !
ce que j'ai c'est que si a ∈ G1 et b ∈ G2 et que l'ordre de a est m et l'ordre de b est n
alors l'ordre de ab est d'ordre ppcm(m,n) dans G1*G2

donc si on prend l'exemple de A4×Z/2Z dans S4×Z/2Z
son ordre c'est ppcm(12,2)= 12

merci

Ce n'est pas possible, c'est trop n'importe quoi. Ce qu'on t'écrit glisse sur toi sans que tu en tiennes compte. Inattention ou incompréhension ?
En tout cas dans ces conditions il est illusoire d'essayer de t'aider. J'arrête donc. Bonne chance !

ah je suis désolé de ne pas être intelligent mais ce n'est pas de ma faute...
ce que j'ai c'est que si a ∈ G1 et b ∈ G2 et que l'ordre de a est m et l'ordre de b est n
alors l'ordre de (a,b) est d'ordre ppcm(m,n) dans G1*G2

j'essaye juste comprendre ce que l'on me donne ! mais bon...
merci quand même

je crois que je viens de comprendre ma faute !

je croyais avoir compris mais finalement non !