salut

penser au groupe symétrique et son sous-groupe alterné ....

est ce que si je dis que le groupe d'automorphisme du tétraèdre est le groupe alterné A4
et celui du cube est le groupe A5
c'est exacte ?

j'en sais rien .... mais 48 n'est pas la moitié de 5! ....

maintenant peut-être serait-il bien de nous donner tes résultats pour chaque polyèdre ....

et |A4| <> 24 ....

Il peut être avantageux d'identifier dans un premier temps les rotations du cube avant d'identifier toutes les isométries.
Pour le cube, l'idée classique est de regarder comment le groupe des rotations du cube agit sur l'ensemble des quatre grandes diagonales (joignant les sommets opposés).

Pour les isométries du tétraèdre, regarder comment ce groupe agit sur l'ensemble des quatre sommets.

pour l'instant j'aurai besoin d'aide concernant le cube et je me débrouillerai avec le tétraèdre...
voici mes résultats pour le cube : il y a 3 r1/4, 3 r2/4, 3 r3/4,  4 r1/3,  4 r2/3, 6 r1/2 (avec "r" est une rotation)
3 ar1/4, 3 symétrie médiaux, 3 ar3/4, 4 ar1/3, 4 ar2/3 ,6 symétrie diagonaux (avec "ar" est une antirotation)
mais le problème c'est que je n'arrive pas à reconnaître ce groupe ! parce que après on nous demande d'étudier le groupe obtenu

Je t'ai déjà dit un moyen d'identifier le groupe des rotations du cube. N'as-tu pas lu ?
Par ailleurs, quelle différence fais-tu entre rotations d'1/4 de tour et rotations de 3/4 de tour ? Idem pour 1/3 et 2/3 ?

désolé je n'avais pas bien regardé
Si g appartenant au groupe des rotation du cube et ϕ(g) = idD , alors en notant Di = AiGi ,les diagonales g(A1) = A1 et g(G1) = G1
et dans ce cas en utilisant le fait que g fixe toutes les diagonales et les deux points opposés A1 et G1, on obtient que
g fixe tous les sommets, donc g = idR3 et donc l'action est fidèle

je peux en déduire l'isomorphisme avec S4 ?

et les symétrie sont d'ordre 2 donc j'en déduit qu'ils sont isomorphe à Z/2Z  

Si D est une grande diagonale et g(D)=D, g ne préserve pas forcément les extrémités de D ! La rotation g peut aussi échanger ces extrémités (retourner la grande diagonale). Ton argument ne suffit donc pas.
Si une rotation retourne une droite, que peut-on dire de l'axe de cette rotation ?

j'ai oublié de précisé que ϕ est definit comme ceci ϕ : H −→ S4   avec H le groupe des rotation du cube
                                                        g −→ g|D       et D l'ensemble des diagonales du cube


Citation:
Si une rotation retourne une droite, que peut-on dire de l'axe de cette rotation ?

on peut dire que le point O est le centre de cette rotation (c'est la symétrie centrale)

si je reprend ma démonstration d'en haut et je rajoute que:
sOg = Id et g est donc la symétrie centrale sO en O ce qui est impossible puisque g ∈ H.
donc Ker(ϕ) = {idR3 }

enfaîte le cube admet un centre de symétrie en O, et les symétries sont sont d'ordre 2

Ca ne va pas. La symétrie centrale n'est pas une rotation. Mais il y a des rotations dans l'espace qui retournent des droites !!!

ah oui !
et si je rajoute que :
on peut voir que les transpositions sont toutes réalisées (ici grâce à des
retournements d'axes reliant les milieux des arêtes joignant les diagonales),
et donc que H est isomorphe à S4

Oui ça marche (préciser l'argument pour l'isomorphisme).

je n'ai pas compris quand vous parlé d'argument pour l'isomorphisme
et donc l'automorphisme du cube est isomorphe au produit direct S4×Z/2Z

merci beaucoup pour votre aide

et comment pourrais-je faire pour trouvé les sous-groupe distingué,l'automorphisme intérieur et le centre de ce groupe ?

je n'ai pas compris quand vous parlé d'argument pour l'isomorphisme
et donc l'automorphisme du cube est isomorphe au produit direct S4×Z/2Z

merci beaucoup pour votre aide

et comment pourrais-je faire pour trouvé les sous-groupe distingué,l'automorphisme intérieur et le centre de ce groupe ?

bonjour

on a le produit direct S4×Z/2Z
comment pourrais-je faire pour trouvé les sous-groupe distingué,l'automorphisme intérieur et le centre de ce groupe ?

merci

*** message déplacé ***

Quand je parle d'argument, c'est au sens de raisonnement et pas d'argument de nombre complexe.

Commence déjà par répondre aux questions que tu te poses pour le groupe .

Voir l'autre fil : Groupe d'automorphisme

*** message déplacé ***

voici ce que je trouve pour le groupe S4
ses sous groupes distingué sont  {1}, (Z/2Z)², A4 et S4
et le centre de S4 est réduit à l'élément neutre
et on a vu en cours que aut(A) est isomorphe à G/Z(G), donc aut(A) = S4/{e}

comment je fais pour avoir le résultat du groupe de départ ?  

et pour l'argument l'isomorphisme
le cube possède un centre de symétrie.
La symétrie centrale est un antidéplacement qui commute avec tous les déplacements,
la composé d'une rotation par une symétrie est une symétrie et le groupe des symétries est isomorphe à Z/2Z
d'ou l'isomorphisme avec le produit S4×Z/2Z

enfaîte mon raisonnement c'est que S4 est isomorphe au groupe des rotation du cube et il y en a 24
donc les 24 autres isométrie c'est à dire les symétrie sont isomorphe à Z/2Z et en tout cela fait 48 isométries
mais d'après ce que vous me dite ce n'est pas bon...

ok je vais exploiter ce piste

"les 24 autres isométrie c'est à dire les symétrie sont isomorphe à Z/2Z"

Peux-tu expliquer ? une isométrie indirecte est forcément une symétrie ? Qu'est-ce qui est isomorphe à Z/2Z ?

ah oui ! après avoir fait le dessin
un anti-déplacement est l'ensemble des isométrie négative (noté G-)
Si f est un déplacement de G+, g=So°f est un antidéplacement de G−
un anti-déplacement g de G− étant donné, soit f = SO°g est un déplacement de G+
si on considère l'application ϕ de G+ vers G−,défini par ϕ : f−→ g = So°f .
ϕ(f) = SO°(SO°g) = (SO°SO)°g = g, car SO est involutive .
Ceci prouve que g admet un antécédent f = SO°g dans G+ par ϕ ;
ϕ(f) est une bijection de G+ sur G−
Ces ensembles étant finis ils ont donc le même nombre d'éléments :
G+ et G− comptent chacun 24 isométries qui conservent le cube.
l'ensemble des anti-déplacements est isomorphe à Z/2Z

Il y a une bonne idée, mais tu la gâches par cette dernière phrase "l'ensemble des anti-déplacements est isomorphe à Z/2Z" à laquelle tu t'accroches mais qui n'a AUCUN SENS : l'ensemble des anti-déplacements n'est pas un groupe, et il a comme tu viens de le voir 24 éléments : comment veux-tu qu'il soit "isomorphe à Z/2Z". ca fait plusieurs fois que je t'écris que ça ne va pas, mais tu persévères...
Aussi (2e ligne) un anti-déplacement n'est pas un ensemble !
Réfléchis plus à ce que tu écris pour éviter les contresens.

ah oui c'est vrai !!
je viens de comprendre votre remarque concernant mes phrases concernant l'isomorphisme avec Z/2Z !
mais dans ce cas là je ne vois pas comment faire pour en déduire l'isomorphisme avec S4×Z/2Z...

et donc si j'ai bien compris les sous-groupes distingué de S4×Z/2Z sont: {1}×{O}, (Z/2Z)²×{O}, A4×{O} et S4×{O}
et le centre de S4×Z/2Z est {e}×{O} et aut(S4×Z/2Z) = (S4×Z/2Z)/{e}×{O}

Ce qui est isomorphe à , c'est le sous-groupe du groupe des isométries du cube formé de l'identité et de la symétrie centrale. Ces deux éléments commutent avec toutes les isométries, et tu as montré que toute isométrie s'écrit de manière unique comme produit d'une rotation avec un élément de ce sous-groupe.

Je ne comprends pas ton "donc". Où aurais-je dit ou suggéré que les sous groupes distingués de sont les sous-groupes distingués de ? Il y a bien sûr ceux-ci, mais il y en a d'autres !

j'avais pas remarqué cela !

ce que j'ai compris c'est que les sous groupes distingués de S4×Z/2Z sont les sous groupe distingués de S4
pour trouvé les sous-groupes distingués de S4 : j'ai vu que les sous-groupes que j'ai trouvé sont noyau de l'application signature de S4 dans {-1,1} qui est un morphisme.
du coup les autres éléments dont vous parlé je ne les vois pas dans le noyau du morphisme !

"ce que j'ai compris ... " : tu as mal compris. Ne lis pas autre chose que ce qui est écrit !

Citation :
L'intersection d'un sous groupe distingué de avec (ou plus exactement ) est un sous-groupe distingué de . Ou bien , ou bien est d'indice 2 dans . Tu peux déjà vérifier ça, et essayer de l'exploiter.

je vois que S4×Z/2Z = (S4×{0})×({0}×Z/2Z)
est ce que les sous-groupes distingués qui manque sont ceux de ({0}×Z/2Z) ?

Fais un choix dans tes notations : tu ne peus pas noter l'élément neutre de tantôt , tantôt .

Si est un sous groupe distingué de , alors et sont des sous-groupes distingués de . Mais il peut y en avoir d'autres, et il y en a effectivement, à identifier.

je n'ai pas compris pourquoi G×Z/2Z est aussi distingués dans S4×Z/2Z

j'ai remarqué qu'un sous-groupe contenant un 3-cycle et une double transposition est A4
et Un sous-groupe engendré par deux doubles transpositions est (Z/2Z)²
donc sont aussi distingué
il y en a d'autres ?

je dirais que c'est parce que Z/2Z est une cycle d'ordre 2 et donc appartient au noyau du morphisme

et je n'arrive pas à identifié les autres sous-groupes distingué dont vous parlé à part ceux que j'ai cité

Que veut dire ta phrase "Z/2Z est une cycle d'ordre 2  et donc appartient au noyau du morphisme" ?

Ca ne progresse pas, malheureusement. Je vais arrêter en récapitulant. Je décris les sous-groupes distingués de en partant de leurs intersections avec (vu comme le sous-groupe ). Je donne la traduction en terme des isométries du cube et d'un tétraèdre régulier inscrit dans le cube (avec ses quatre sommets des sommets du cube).

1° Intersection égale à . Il y a deux possibilités : (les rotations du cube) et (les isométries du cube)

2° Intersection égale à . Il y a (les rotations du tétraèdre) et (les rotations du cube qui conservent le tétraèdre et les isométries indirectes qui envoient le tétraèdre sur l'autre tétraèdre inscrit). Mais il y a aussi les isométries du tétraèdre, correspondant à l'image du plongement donné par (où est la signature).

3° Intersection égale au sous-groupe des doubles transpositions (isomorphe à ). Il y a   et (respectivement les rotations et les isométries du cube qui conservent chacun des trois axes joignant les milieux de faces opposées).

4° Intersection égale à . Il y a le sous-groupe réduit à l'identité et le sous-groupe d'ordre 2 engendré par la symétrie centrale.

Au total, 9 sous-groupes distingués.
Pour voir que la liste est exhaustive on peut s'appuyer sur la description des classes de conjugaison de (tout sous-groupe distingué est réunion de classes de conjugaisons).

je voulais voir Z/2Z comme étant le cycle C2, auquel je croyais qu'il appartenait au noyau du morphisme mais ce qui n'est pas le cas...

je les avaient presque mais le faite que je n'ai pas compris pourquoi si G est distingué alors G×Z/2Z est aussi distingués dans S4×Z/2Z m'a un peu bloqué !

et pour l'intersection égale à A4 : je suis d'accord que  A4×{0} et A4×Z/2Z sont distingué, mais pour les isométries du tétraèdre, on ne retombe pas sur S4 ?

parce que Si H un sous-groupe distingué de S4 contenant la classe 3-1, alors H ⊃ A4 et donc H = A4 ou H = S4

Le groupe des isométries du tétraèdre est bien isomorphe à .
Modulo l'identification du groupe des isométries du cube à , c'est bien un sous-groupe de (puisque toute isométrie d'un tétraèdre inscrit est aussi une isométrie du cube). Mais ce n'est pas le sous-groupe . J'ai décrit précisément ce plongement de dans , essaie de comprendre ce que j'ai écrit.

désolé mais je n'ai pas pu comprendre quand vous parlé de plongement de S4 dans S4×Z/2Z...

et est-ce que si {e} est le centre de S4, alors {e}×{0} et {e}×Z/2\Z sont des éléments du centre de S4×Z/2Z ?

Ce que tu écris ne sont pas des éléments de .

j'ai fais comme ceci :
soient (i j) une transpositions et σ ∈ Z(S4×Z/2Z)
σ(i j)σ−1 = (σ(i) σ(j)) = (i j)         car σ ∈ Z(S4×Z/2Z).
Donc σ(i) ∈ {i, j}. De même, en considérant σ(ik)σ−1, on montre que σ(i) ∈{i, k} avec i,j,k distinct.
Finalement, σ(i) = i, et ce pour tout i ∈ {1, . . . , n}, donc σ = id
donc Z(S4×Z/2Z)  = {id}

Je pense qu'il y a vraiment pas mal de confusion dans ta tête. Tu raisonnes comme si les éléments de étaient juste des permutations, c.-à-d. des éléments de .

Tu peux vérifier que, de manière générale, le centre d'un groupe produit cartésien est le produit cartésien des centres.

oui je le pense aussi !

j'avais essayé de le voir comme ceci :Si les groupes G1 et G2 sont non triviaux, alors le centre de G1*G2 est trivial.
je raisonne par l'absurde. Soit u élément non vide du centre.
Supposons que u = g1*h1 · · · gn*hn où gi ∈ G1−{e1} et hj ∈ G2−{e2}.
Soient g ∈ G1−{e1} et h ∈ G2−{e2}.Posons v = g*h.
Comme u et v commutent (car u est central),uvu^(−1)v^(−1) est égale à l'ensemble vide.
Supposons que hn différent de h. Notons (hn)' = h*hn^(−1),
Alors g1*h1 · · · gn*hn*g*(hn)'gn^(−1)· · · h1^(−1)g1^(−1)= uvu^(−1)v(−1)
il n'est pas égale à l'ensemble vide, ce qui est une contradictoire

oui je le pense aussi !

j'avais essayé de le voir comme ceci :Si les groupes G1 et G2 sont non triviaux, alors le centre de G1*G2 est trivial.
je raisonne par l'absurde. Soit u élément non vide du centre.
Supposons que u = g1*h1 · · · gn*hn où gi ∈ G1−{e1} et hj ∈ G2−{e2}.
Soient g ∈ G1−{e1} et h ∈ G2−{e2}.Posons v = g*h.
Comme u et v commutent (car u est central),uvu^(−1)v^(−1) est égale à l'ensemble vide.
Supposons que hn différent de h. Notons (hn)' = h*hn^(−1),
Alors g1*h1 · · · gn*hn*g*(hn)'*gn^(−1)· · · h1^(−1)*g1^(−1)= uvu^(−1)v(−1)
il n'est pas égale à l'ensemble vide, ce qui est une contradictoire

Ca ne va pas du tout.
Tu as l'air de ne pas savoir ce qu'est un produit cartésien de groupes.  C'est l'ensemble des couples formés d'un élément et d'un élément , avec la loi de composition interne .

Tu continues à faire des contresens en mélangeant éléments d'un groupe et ensembles ("élément non vide du centre" n'a aucun sens).

enfaîte on a vu le définition d'un produit de 2 groupes mais on a pas fait beaucoup d'exercice dessus.

ah oui c'est vrai...je viens de le remarqué.
mais même si je remplace "ensemble vide" par "élément neutre" ca ne va pas ?

j'avais déjà fait ce que j'ai fait avant de voir votre conseil, c'est pour cela que ce que j'ai écris na rien avoir avec ce que vous m'avez dit

Si tu remplaces "ensemble vide" par "élément neutre", c'est moins affreux, mais ça ne va toujours pas.
Ne vois-tu pas que ce que tu écris n'a aucun rapport avec le produit cartésien de groupes ?

ah ok...

pourrais-je avoir un indice pour démontrer que le centre Z(G*H) d'un groupe produit cartésien G*H est le produit cartésien Z(G)*Z(H) des centres.

Il suffit d'écrire ce que veut dire le fait que (g,h) commute avec (a,b) veut dire.