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Groupe des Inversibles de Z/2^nZ
Bonsoir à tous 
,
Je viens solliciter votre aide pour l'exo suivant. Dans un premier temps on démontre (par récurrence) que pour tout entier impair a, on a :
Ensuite, on me demande de déduire de cette relation le fait que le groupe des inversibles de est cyclique si et seulement si
.
Vérifier que ça marche pour n=1 et 2 est trivial, mais pour montrer que cela ne marche pas pour n>2 me pose des difficultés. Je ne vois pas comment utiliser cette relation. La seule chose que je vois c'est qu'elle s'applique clairement aux éléments inversibles puisqu'aux classes impaires, ce qui n'est pas franchement un exploit... 
Ah oui, j'ai aussi essayer de traiter les cas n = 3 et 4 à la main, mais ce ne m'a pas vraiment donné de piste pour le cas général.
Voilà, merci d'avance pour votre aide et à bientôt
Bonsoir,
déja le but est de trouver un générateur des inversibles de Z/2^nZ.
Le cardinal de ce groupe est 2^(n-1).
Pour n=1,2 on trouve facilement un générateur.
Pour n>2, on a donc ton égalité qui est en fait le théorème de Lagrange appliqué dans le groupe, je doute qu'on doive en déduire le résultat de cela.
Bonsoir Cauchy et merci pour ton aide ,
Aussi bizarre que cela puisse paraître, c'est l'énoncé d'origine. D'après mon prof, ce serait un exo tombant aux oraux des Mines et de Centrale. Par contre, l'énoncé que j'ai sous les yeux est bien celui que je t'ai donné.
Je vais continuer de creuser
Cependant, si tu connais une autre méthode (comme le laisse présager ton dernier POST), cela m'intéresse aussi.
A +
Bien la le truc c'est que c'est pas une méthode, on applique simplement Lagrange dans le groupe des inversibles et on obtient ton résultat.
Enfin tu as que cette question, cela sort d'un problème?
Vu que si tu montres ce que j'ai mis dans mon message, l'idée est de montrer que 5 est d'ordre 2^(n-2) dans U(2^n) et ensuite de voir que tout élément est de la forme +-5^a.
Re-Salut ,
Alors cet exo est sensé être un exo d'oral uniquement, donc n'est pas tiré d'un long problème. L'énoncé est exactement celui que j'ai donné. Cependant, je pense que tu as raison et qu'il y a une erreur : la plupart du temps ces exos sont recopiés par des élèves à la sortie de leurs oraux avant d'être envoyés à leurs profs, d'où l'apparition d'erreur due à un oubli de l'élève ou une erreur de lecture du prof (souvent due, admettons-le, à l'écriture de l'élève ).
Bref, tout ceci pour dire, que je pense que la première question devait en fait être la suivante :
Démontrer que pour tout impair a et pour tout n entier naturel non nul :
Ceci se démontre sans difficulté en vérifiant d'abord l'initiallisation, puis en remarquant que si la propriété est vraie pour n fixé, alors :
En déduire que le groupe des inversibles n'est pas cyclique si n>2 est alors direct, car cette relation traduit que l'ordre des inversibles est inférieur au cardinal du groupe.
Voilà, je pense que c'est bon.
Merci beaucoup pour ton aide et dsl de t'avoir fait cherché un exercice dont l'énoncé était incorrect 
A bientôt
Re,
oui si tu veux essayer de voir plus loin, montre l'égalité de mon message du dessus et essaye de construire un isomorphisme entre le groupe des inversibles et Z/2Z*(Z/2^(n-2)Z).
Ca m'a pas dérangé t'inquiètes pas 
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