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groupe linéaire
Bonjour,
Soit un espace de Banach Et
, l'espace de Banach des applications linéaires continues de
dans
.
On munit de la norme d'opérateur induite par la norme de
.
si , la série
converge dans
, et
.
Comment on en déduit que est dans l'intérieur
,
où désigne les automorphismes continus de
?
Merci pour votre aide. 
Bonjour
Tu viens de le faire, non? Si v est dans B(Id,1) on pose u=Id-v, on a ||u||< 1 et on vient de voir que Id-u=v est inversible!
ah oui effectivement, merci Camélia.
Il y a un autre point que me pose problème:
pourquoi si on remplace la condition par
, on a
qui converge dans
?
C'est un simple problème de convergence absolue. La condition entraine que la série 
||u||^n est convergente dans R, donc, comme tu es dans un espace complet ça entraine la convergence de un.
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