Salut !


oui tous a fait, en fait si une fonction est holomorphe sur U-{a}, et borné au voisinage de a, (avec a un point de l'intérieur de U) alors f est Holomorphe sur U tous entier (on dit que la singularité en a est "effacable")

donc si ta fonction est holomorphe sur l'intérieur du lacet sauf en un point, et qu'elle est continu en ce point, elle est alors Holomorphe sur tous l'intérieur du lacet est m'intégral est bien nul.



A propos du théorème de Picard, le Petit théorème de picard (toute fonction  entière prend toute les valeur dans C sauf peut-etre une) j'ai une preuve qui est plus ou moins accesible niveaux licence, mais va demander beaucoup de travaille...
Pour le grand théorème de picard (si f a une singularité essentielle en a, alors f prend toute valeur dans C sauf peut-etre une dans tous voisinage de a) la c'est plus compliqué, je connais qu'une preuve et je la maitrise pas assez pour l'expliquer au niveaux licence... enfin ceci dit je pourait faire une petite recherche sur la question.

pour Petit Picard :

l'idée est de montrer qu'il n'existe aucune application holomorphe non constante de C dans C privé de deux point (ou encore dans S - la sphère de riemann privé de trois point).
et pour cela il faut mettre en évidence une certaine propriété du plan privé de deux point (... que quand on à fait un peu plus d'analyse complexe on appelle "etre hyperbolique" )

quitte à composer par une homographie, on peut supposer que les "deux points" sont 0 et 1...

Premier preuve, pas totalement élementaire :
L'idée est de construire le "Revetement Universelle" de C-{0,1} par le demi plan de poincaré H={z telle que Im(z)>0}, (je sais pas trop si tu as fait un peu de topologie algébrique, enfin si le terme revetement universelle t'es inconnu c'est pas tres grave).
c'est à dire qu'on va construire une application surjective de p : H->C-{0,1}, qui aura des propriété "sympatique", si tu as déja étudié les formes modulaire, alors ca peut-etre tres rapide, car cette fonction est quasiement une forme modulaire.

apres c'est relativement simple, si tu as une fonction g:C->C-{0,1}, on va pouvoir la relever en une application g~ : C->H, telle que g=p°g~
et du coup, comme H c'est en bijection holomorphe avec le Disque unité on ce retrouve avec une fonction de C->D, qui va donc etre constante par le théorème de liouville !

Bref la seul difficulté est de construire cette application p. quoique si tu n'as jammais vu de théorème de relevement, ca va peut-etre nous manquer sérieusement à la fin (c'est le seul passage qui est peut-etre hors de porté du niveaux L3, je ne sais pas...)

Si ca t'interesse toujour, je peut te donner des références plus précices sur le sujet...

Il existe une preuve relativement élémentaire utilisant des propriétés de métriques riemanniennes. L'idée essentiellement est d'utiliser le théorème d'Ahlfors.

Mais la preuve la plus jolie est selon moi celle esquissée par Ksilver, bien qu'elle soit absolument non triviale.

C'est vrai que c'est un peu compliqué tout ca car je ne connait ni le terme de revetement universelle, ni celui de forme modulaire et encore moins le théorème d'Ahlfors (que je ne trouve mm pas sur le net :s). Pour m'encourager à comprendre je connait uniquement Liouville .

Donc je veux bien des petites références le théorème en espérant que je les comprennent!!

Pour ma première question, si la singularité en a n'est pas éliminable, l'intégrable n'est pas nulle? Par exemple pour 1/z

Merci à vous 2

Allo,
ce n'est pas une question quant à la nature de la singularité.
C'est une question de résidu.
Tu peux montrer qu'une fonction définie sur un anneau est la somme de deux fonctions, une holomorphe à l'extérieur d'un disque et l'autre holomorphe à l'intérieur d'un plus grand disque concentrique.

La fonction qui est définie à l'extérieur d'un point (qui est un disque de rayon 0) possède donc un développement en série de Taylor à l'infini.
Finalement ca permet de voir une fonction ayant une singularité isolée comme une série de puissances positives et négatives.

Le premier terme de la puissance négative (puissance -1) est ce que l'on appelle le résidu. C'est ce nombre qui te dit si on intégrale va ou non être nulle.

D'accord, mais ma question portait essentiellement sur le théorème de Cauchy (d'existence de primitive et donc d'intégrale nulle).

Je ne savais pas que ca avais un rapport avec la série de Laurent de la fonction et son résidu. (Nous n'avons pas encore vu ceci en cours)

Tu verra tres bientot la formule des résidus qui généralise la formule de cauchy... mais pour t'interesser au th de Picard il vaudrait mieux avoir déja finit le cours de L3 (le th de l'application conforme de riemann est en général assez utile par exemple...)

Otto : ce que tu apelle th d'Ahlfors, c'est qu'il n'existe pas de métrique à courbure négative sur le plan ? si c'est le cas j'ai fallit proposer cette preuve aussi, mais en l'écrivant je me suis dit que ce résultat était encore plus loin du cours de L3 que le théorème de relévement ^^

Enfin des que j'ai le temps de passer à la Bibliothèque je noterai quelque référence sur la question...

L'existence de primitive est assurée par une intégrale nulle. Ca permet de montrer l'indépendance du chemin et donc l'existence de primitive.

Donc je vais attendre d'avoir vu les résidus et après je me ré intéresserai à la démo du théorème de Picard. Je reposterai surement sur le forum

Une petite question encore si ca vous dérange pas!! En fait en cours on a pas encore vu les dvp de Laurent mais je prenait un petit peu d'avance.

En fait si a est une singularité essentielle le développement de Laurent va de -oo à +oo
Si la singularité est un pole d'ordre n alors elle va de -n à +oo
Et enfin si la singularité est éliminable, elle va de -1 à +oo. (En fait une singularité éliminable est un pole d'ordre 1) C'est la dessus que j'aurai besoin de la petite précision!!

Merci pour vos explications

Non c'est pas ca

pole si le développement des puissances négatives est fini.
enlevable si les puissances négatives ne sont pas présentes.
essentielle sinon.

Et il n'y a pas de rapport entre le théorème de Laurent avec les résidus etc et celui de Picard. On a juste un peu digressé...

En fait l'erreur que tu as commise est qu'une singularité est éliminable si sa série de Laurent débute à 0 et non à -1.
Le reste est correct.