le fait que l'orbite soit périodique pour a rationnel est évident : si a = p/q, alors p*2pi/a est un multiple de 2pi .

POur l'autre il faut utiliser un sous-groupe de R ...

ok merci je vais essayer de voir ca... (pour le cas rationnel j'avais réussi, c'est l'autre cas qui m'embête plus...)

Je me demande si on ne pourrait pas faire une belle (et pas trop difficile) preuve topologique:

Le cercle est trivialement compact. Notamment à chaque fois que tu fais une rotation (donc à chaque nombre) tu peux associer un point du cercle. Donc finalement tu as une suite à valeurs dans le cercle.
Cette suite possède un point d'accumulation. Nous on voudrait montrer que tous les points du cercles le sont. Par l'absurde, est ce que ca pourrait marcher? Je pense que ca doit se faire sans trop de problèmes.

Sinon, il te suffit de reprendre la preuve du théorèmes qui te dit que les sous groupes de R sont aZ où denses dans R, en la modifiant un peu, parce qu'ici on a quand même une topologie différente (R et le cercle ne sont pas homéomorphes)

A+

C'est un théorème trés classique et ca se démontre (partout ou je l'ai vue) avec les sous-groupes de R j'en suis certain (et mon prof de maths étant un adepte des solutions simples je doute qu'il existe une solution plus simple sinon il nous l'aurait donnée).

Je n'ai pas dit le contraire, je cherche juste une solution plus topologique, parce que j'aime quand c'est purement topologique.
A+

La différence topologique entre R et le cerlce n'est pas un problème puisque on utilise t -> exp(it) pour passer de l'un à l'autre et on vérifie facilement que la densité est conservée.

Oui, ca n'a toujours pas de rapport avec ce que je dis, mais ca n'a pas d'importance...

Je sais bien que tu veux une solution purement topolgique (je te signale que je ne faisait que répondre à la dernière partie de ton premier post).

Mais je ne suis pas sur qu'elle existe et je ne suis pas sur que si elle existe elle soit très simple. Mais tu peux la chercher car je serais très interressé par une telle démonstration.

En fait je suis sur que la topologie (qui doit signifier "sciences des dieux" dans une certaine langue ) réponde a une grande partie des problèmes que ce soit de manière évidente ou non. cf la démonstration du théorème sur l'infinité des nombres premiers

Ici, je ne m'embeterai pas à chercher une preuve topologie compliquée, donc si j'en trouve une simple dans le peu de temps que j'ai à y consacrer, je t'en ferai part.

Cordialement,
Otto

Il est vrai que j'aime bien aussi la démonstration topologique de l'infinité des nombres premiers, c'est une de mes préférée (aprés celle utilisant les nombres de Fermat).

re bonjour!

j'ai essayé de traiter le cas irrationnel, mais je n'arrive pas à trouver le sous goupe à prendre... si quelqu'un peut m'aider...

non c'est bon j'ai rien dit j'ai réusssi... merci à vous deux

Sinon deuxième question : en notant T l'anneau compris entre le cercle de rayon 1/2 et le cercle de rayon 1, je souhaite montrer qu'il existe un homéomorphisme de T qui possède une orbite dense.
La démonstration que je possède part d'une rotation, la "déforme" pour obtenir un homéo dont une orbite recouvre quasiment (à près) puis en conjuguant comme il le faut, j'obtiens le résultat (méthode de Katok).
Cependant, je suis à la recherche d'une autre démonstration, ou éventuellement de la même démonstration peut être légèrement différente...

en espérant que vous pourrez m'aider

Merci d'avance

Finalement la meilleure chose que je vois c'est grosso modo celle proposée depuis le début:
On prend les sous groupes de R, et on quotiente R par la relation x~y ssi x-y est entier.
Ca devrait nous donner ce que l'on veut si je ne dis pas de bétise, mais ca n'est pas la solution que j'attendais.
Dommage.

Sinon pour ton truc d'anneau, je ne comprend pas ce que tu cherches.

Bonjour à tous

otto> Si j'ai bien compris, je pense que tealc recherche un homéomorphisme f de cet anneau dans lui-même tel qu'il existe un élément a de T vérifiant que l'ensemble est dense dans T ( désignant la composée de f n fois). Bien sûr, j'ai pu mal interpréter.

Kaiser

non non Kaiser (d'ailleurs bonsoir) tu as très bien compris... j'ai déjà trouvé une solution mais je suis à la recherche d'autres idées...

Ok la je comprend mieux, mais quand on parle d'anneau, on parle de 2 cercles concentriques, ou on parle de la surface entre les 2 cercles?

D'ordinaire c'est le deuxième cas, mais là compte tenu de ce qui est fait, je ne sais pas...

Je pencherais plutôt pour la seconde solution !
D'ailleurs :

non c'est bien la surface entre les deux cercles donnés

Oh oh, alors j'ai mal lu.
Je me demande si on ne peut pas adapter mon idée mais au cas du tore, et via la tore c'est facile de se ramener à l'anneau par une projection.
Ca c'est l'idée géométrique, ca ne dit pas que ca marche, mais ca a de l'allure, non?

Effectivement, ça a de l'allure mais de là, comment en déduire un homéomorphisme ?

Le tore est-il homéomorphe à cet anneau ? Ou a-t-on seulement un plongement de l'un dans l'autre ?

J'ai peut-être une idée mais je ne sais absolument pas ce que ça vaut.

Comme T est compact alors T est séparable. Ainsi, il existe un sous-ensemble D de T dénombrable et dense dans T. On note donc D sous la forme . (Quitte à enlever des termes, on peut supposer que les sont 2 à 2 distincts).
On définie donc une application f sur D par pour tout n, .
Ensuite, comme D est dense dans T, on peut (?) prolonger f à T tout entier.
ce qu'il reste à montrer(si c'est vrai), c'est que f est continue (en notant encore f le prolongement à T) et injective et D sera alors une orbite dense de f.
Kaiser

  Euh pour ma question précédente je ne sais pas, mais :

  On a une projection du tore sur l'anneau, cette projection est continue et surjective et transforme donc une suite dense dans le tore en une suite dense dans l'anneau; Or il existe des homéomorphismes du tore connus qui ont des orbites denses, donc on pourrait utiliser ça.

Kaiser:
pourquoi x_n+1 serait proche de y_n+1 dès que x_n et y_n sont proches?

Stokastik> pour ta question précédent, le tore n'est pas homéomorphe à cet anneau. En effet, les points qui sont à la frontière de l'anneau posent problème.

Ma méthode marche mais je réfléchis à ce que tu essayais de faire plus généralement kaiser...

l'idée de kaiser m'intéresse, même si je ne sais vraiment pas si f sera continue... enfin je verrai ca demain (on dit que la nuit porte toujours conseil.. on va voir )

juste stockastik : tu dis qu'il existe des homéomorphisme du tore qui ont des orbites dense : tu peux me donner un exemple? et le problème, c'est qu'en projetant ensuite sur l'anneau, on n'obtiendra peut être pas un homéo continu...

Tu as raison on perd l'injectivité!

Kaiser je ne comprend pas ce que tu dis lorsque tu dis que le tore et l'anneau ne sont pas homéomorphes à cause de la frontière.
Celà étant, si je ne dis pas de bétise, le groupe fondamental du premier est Z^2 et celui du second est Z, ce qui fait que c'est clairement pas homéomorphe.
Sauf erreur possible de ma part.
A+

Des homéomorphismes du tore avec orbites denses ? C'est une généralisation du cas des rotations :

Pour la translation du tore définie par , toutes les orbites sont denses si et seulement si et sont rationnellement indépendants : pour

Et d'ailleurs peut-être que si et ne sont pas rationnellement indépendants, on a aucune orbite dense (je ne sais pas).

pour répondre à ta question otto, quand je disais que les points de la frontière posent problème, voilà où je voulais en venir :

Tout point du tore a un voisinage (de la topologie induite sur le tore) qui est homéomorphe à un disque (car le tore est une variété).
mais si l'on considère un point de la frontière de l'anneau, on ne pourra jamais trouve de tels voisinages.

Bref tu peux regarder les pages 8 et 9 de ce document : . Cela peut t'intéresser.

A part ça il me semble que si ni ni ne sont nuls, la translation de pas sur le tore se projette en un homéomorphisme sur l'anneau.

Mais il est temps que je dorme...

Et au fait cet anneau, il est homéomorphe à quel espace métrique plus classique ?

hhhmmmmm... homéomorphe à si je ne me trompe pas... marrant ce truc

J'ai dit une bêtise à 00:08, une translation sur le tore ne se projette pas en un homéo sur l'anneau.

Mais au fait tealc, c'est cela que tu veux montrer exactement ? La "méthode de Katok" comme tu dis, c'est pour résoudre ce problème précisément, ou un problème plus général ?

Peut être que je dis n'importe quoi parce que je n'y ai pas beaucoup réfléchi, mais (R/Z)x[0,1] me semble être simplement connexe, et ressemble plus à un disque qu'à un anneau.

Et sinon je pense qu'un anneau (ce que l'on appelle en fait une couronne je pense) est un domaine classique.
Tient, question subsidiaire:
Les anneaux sont ils tous conformes? Sinon donner une CNS pour que deux anneaux soient conformes.
Même question pour les domaines doublement connexes du plan?

A+

Merci à tous! je vais essayé d'étudier ce que vous avez dit

stockastik : la méthode de Katok est une méthode beaucoup plus général qui donne  une condition suffisant sur une ensemble compact connexe pour qu'il existe un homéomorphisme minimal (i.e. dont toutes les orbites sont denses).

Bonjour à tous

otto> j'ai réfléchi à ta question subsidiaire et je pense qu'on pourrait adapter le théorème de représentation de Riemann qui dit que tous les ouverts simplements connexes de sont homéomorphes. Par contre, je ne pense pas que l'on doit utiliser ce résultat tel quel parce que cet énoncé cache un énoncé plus fort si l'on considère des ouverts simplement connexes de et qui sont différents de . En effet, si je ne me trompe pas, en considèrant deux tels ouverts, il existe une bijection holomorphe ainsi que sa réciproque entre ces deux ouverts.

Ah moi, groupe fondamental, conforme, doublement connexe, j'y connais rien.

Ce topic est riche en réflexion

L'application que j'avais en tête de (R/Z)x[0,1] sur la couronne me semble être un homéomorphisme : l'élément de R/Z correspond au "rayon" sur lequel va se situer le point de la couronnne et l'élément de [0,1] donne la position de ce point sur ce rayon. Vous voyez ?

personnellement, je penserais plus à un cylindre (du moins un tronçon). En effet, si je ne me trompe pas,  est homéomorphe au cercle et le cylindre apparaît comme étant le produit cartésien du cercle par un segment.
Salut,
oui mais si tu regardes le disque unité, tu peux le voir comme une coordonéé d'angle et une coordonné de longueur.
Finalement l'application qui de R/Zx[0,1] vers R et qui à (t,r) associe z=re^(2iPit) doit surement être continue d'inverse continue non?
Enfin c'est une idée comme ca.
Maintenant l'idée du cylindre est effectivement bonne, mais les deux idées ne peuvent être bonne en même temps (le cylindre n'est pas simplement connexe, et c'est surface de genre 1 si je ne m'abuse, tandis que le disque est simplement connexe)

Il faudrait y réfléchir 2 minutes, et on aurait la solution
Je pense qquand même que ma fonction n'est pas une bijection tout simplement parce que f(t,0) est envoyé sur 0 pour tout t.
Le cylindre me semble donc effectivement plus réaliste
A+

Bonsoir otto

Pour revenir sur ta fonction, ce qui pose problème c'est que si l'on enlève le 0, on a bel et bien une bijection, seulement il me semble que l'inverse n'est pas continue et, si je ne me trompe pas, cela vient du fait que l'on ne peut construire un logarithme complexe sur tout entier ou même sur aucun un voisinage de 0 privé de 0.

Kaiser