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C'est quoi phi?
L'application je te l'ai écrit dans mon message de 21h33, si tu veux tu peux écrire comme ceci:
où:
Ensuite on veut montrer que toutes les formes linéaires sont de la forme voulue, à priori si on se donne une forme linéaire il est difficile de trouver la matrice A telle que f(M)=Tr(AM).
Donc étant en dimension finie, on ruse, le fait que toute forme linéaire s'écrive de cette manière équivaut à la surjectivité de l'application , et donc on montre l'injectivité ce qui est en général plus simple.
L'injectivité se traduit exactement par le fait que si pour toute matrice M, Tr(AM)=0(c'est à dire on a la forme linéaire nulle) alors A=0.
Oui j'ai fait autrement dans le topic d'elhor, bien j'ai fait des essais avant avec les matrices élémentaires(en supposant qu'elles soient dedans etc...) donc ca m'a amené à cette condition vu que dans l'autre cas j'arrivais à conclure directement.
d'accord, je pense que je vois mieux les choses : je peux écrire maintenant :
Phi(A)(M) = Ksi A (M) = tr(AM)
là c'est correct ?
Ensuite pour ma troisième question, quand tu parle d'hyperplan tel qu'il existe i différent de j tel que Eij n'appartienne pas à H. Cela exclut-il le fait que tout les Eij ne soit pas dans H ?
Ce que je me demandais en fait c'est en quoi le fait que les Eij soit dans H nous assure que H est un hyperplan ?
Oui c'est bon pour ta première question.
Si tous les Eij ne sont pas dans H, a fortiori il existe i différent de j tel que Eij n'est pas dans H.
On se donne un hyperplan en hypothèse, après on travaille sur les Eij mais c'est pas cela qui nous assure qu'on a un hyperplan vu qu'on a supposé en avoir un.
Ca utilise d'autres arguments vu qu'on a plus de matrices, après tu peux la comprendre je pense tout de même.
Encore une question 
quand shake trouve la matrice
Z = (0...01)
(In-1 0)
Pourquoi est ce que tr(VZ) =0 et Z est inversible ?
Pour le fait que tr(VZ)=0, je te laisse le soin de calculer VZ.
Z est inversible car de déterminant non nul, développe par rapport à la première ligne.
et je ne comprend pas non plus quand il parle de rang ?
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Soit u ( un entier naturel non nul inférieur ou égal à n ) le rang de A
alors selon une proprièté du cours de sup il existe (X,Y) appartenant à GLn(K)² telle que :
XAY=(Iu 0)=V
(0 0)
donc AM=X^(-1)V Y^(-1)M
donc Tr(AM)=Tr(X^(-1)V Y^(-1)M)=Tr(VY^(-1)MX^-1)
on parle d'hyperplan donc Tr(AM) = 0
Donc il réste à trouver en gros la fameuse matrice inversible Z
tel que Tr( VZ )= 0
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ça sert à quoi d'écrire : Tr(AM)=Tr(X^(-1)V Y^(-1)M)=Tr(VY^(-1)MX^-1) ?
@Cauchy
Pourrais-tu expliquer comment on montre que Mn*(K) et Mn(K) sont de même dimension ? Il me semble que pour avoir injectivité <=> surjectivité <=> bijectivité il faut en plus de dimension finie et linéarité, égalité des dimensions.
Sinon, je voulais savoir si ma démonstration est correcte pour montrer que 
Mn*(K) 
AMn(K), MMn(K), (M)=Tr(AM):
Soit une forme linéaire, on définit M=(Mij)(i,j[1,n])Mn(K)
Donc (M)=
(sur i)(sur k) M(k,i)(E(k,i))
Maintenant, soit (Aij)(i,j[1,n])Mn(K), on a alors :
Tr(AM)=(sur i) (AM)(i,i) = (sur i)(sur k) A(i,k)
M(k,i)
En construisant A, A(i,k)=(E(k,i)), on a bien l'existence : )
Ca vous semble correct ?
Cauchy est désinscrit, il ne te répondra pas.
L'espace des matrices est de dimension finie, et donc son dual est bien de même dimension.
Ta démonstration de surjectivité est correcte.
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