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Hyperplan avec les matrices ???
Bonjour,
je suis tombé sur un exercice dont je ne comprend pas le sens... comme l'indique le titre il s'agit d'hyperplan avec les matrices.
(déjà sur l'exercice y a 1e étoile donc ça me rassure 
)
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Exercice :
Montrer que tout hyperplan contient une matrice inversible.
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Mes difficultés :
Normalement on n'a vu les hyperplans que dans le cadre des espaces vectoriel, comme étant : E = H +D avec D de dimension 1, ou bien comme le noyau d'une forme linéaire.
Mais alors dans les matrices qu'est ce qu'un hyperplan ?
Comment est ce qu'un hyperplan peut contenir un objet comme les matrices ?
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour,
un hyperplan dans un espace vectoriel de dimension finie n est un sous-espace vectoriel de dimension maximale donc n-1.
Si tu prends l'ensemble des matrices k*k à coefficients dans un corps K, tu obtiens un espace vectoriel de dimension k² et un hyperplan est donc un sous-espace de dimension k²-1 et on te demande qu'il contient nécessairement une matrice inversible.
Essaye de raisonner avec les matrices élémentaires.
Pour info, cet exo a déja été posté avec une généralisation en dimension infinie 
Bonjour
les matrices de dimension donnée forment un espace vectoriel ....
il faudrait préciser dans quel espace tu prends tes hyperplans ....
si tu veux bien me donner d'autres exemples car malgré ton indice j'ai beaucoup de mal à démarrer. Ne m'en veux pas lafol!
non, il peut aussi y avoir une case avec un 0, ou des conditions plus tordues sur l'ensemble des cases
En gros l'idée, c'est qu'il suffit de k²-1 lettres pour écrire la matrice
exemple l'ensemble des
d'accord je vois grossomodo ce que cela signifie donc!
Pourrais-tu me donner un bon indice pour commencer ?
Il y a les applications de Mn(K) dans K qui à M associe Tr(AM) avec A appartenant à Mn(K) ... tu peux essayer de voir pourquoi est-ce une forme linéaire sur Mn(K) ...
bah justement l'idée est là le noyau d'une forme linéaire que j'ai proposé plus haut est un hyperplan de Mn(K)
Pour l'exo ou pour montrer que toute forme linéaire sur Mn(K) est de la forme M-->Tr(AM) où A est une matrice de Mn(K).
Pour ceci, cela fait penser à la surjectivité d'une application mais comme on est malin et que c'est plus compliqué que l'injectivité on va en fait montrer l'injectivité de l'application(ce qui entrainera la surjectivité du fait de la linéarité et de la dimension finie):
Donc on suppose que Tr(AM)=0 pour tout M, montrer que A=0 ceci nous donnera l'injectivité
?Cauchy j'ai une démonstration à proposer pour montrer que toutes les formes linéaires sont de la forme proposé plus haut
Soit n un entier naturel non nul
Soit A = (aij)(i,j)appartenant à [1..n]*[1..n] et M appartenant à Mn(K) telle que Tr( AM ) = 0
Puisque M est quelconque on a pour tout (i,j) appartenant à [1..n]²
Tr(AEi,j) = 0
or AEi,j= Somme u allant de 1 à n Somme v allant de 1 à n [ auv Euv Eij ] = Somme u allant de 1 à n Somme v allant de 1 à n auv kroneker[ vi ] Euj = Somme u allant de 1 à n aui Euj
Donc Tr( AEi,j ) = Tr( Somme u allant de 1 à n aui Euj )=Somme u allant de 1 à n aui Tr(Euj) = Somme u allant de 1 à n aui kroneker[uj]=aji
et comme Tr(AEi,j) = 0
aji = 0 et cela pour tout i et j
donc A = 0
Cauchy> c'est juste ?
J'y arrive avec les matrices de la forme Id+aEij(en fait j'avais utilisé la même chose dans l'autre topic où je l'avais résolu mais sans passer par les formes linéaires de cette forme).
Soit u ( un entier naturel non nul inférieur ou égal à n ) le rang de A
alors selon une proprièté du cours de sup il existe (X,Y) appartenant à GLn(K)² telle que :
XAY=(Iu 0)=V
(0 0)
donc AM=X^(-1)V Y^(-1)M
donc Tr(AM)=Tr(X^(-1)V Y^(-1)M)=Tr(VY^(-1)MX^-1)
on parle d'hyperplan donc Tr(AM) = 0
Donc il réste à trouver en gros la fameuse matrice inversible Z
tel que Tr( VZ )= 0
La Matrice qui réalise cela est la matrice Z = (0..01)
(10..0)
(010.0)
(..1..)
Oui
Moi j'ai fait un peu différemment, comme A est non nulle il y a au moins une case non nulle, donc il existe i et j tels que .
Posons alors
et M est inversible car
C'est le cas où tous les coeff hors de la diagonale sont nuls et la si Tr(A)=a(ii), M n'est plus inversible mais bon on s'en sort quand même soit il existe un autre terme sur la diagonale non nul différent de a(ii) et cela marche soit tous les autres termes sont nuls et ca marche aussi en choisissant une matrice comme la tienne si n>2 et si n=2 (0 1; 1 0).
Bon en fait c'est exactement la même chose que sur ce topic mais transporté
Hyperplans de L(E).
Comment puis-je lire l'application du post de Cauchy le 20/07/2007 à 21:33
Si je note Phi cette application j'écris :
Phi(A) = M c'est tout ?
Non à toute matrice A, on associe la forme linéaire sur Mn(K) définie comme suit:
pour une matrice M on lui associe Tr(AM).
L'application que j'ai défini est celle qui à la matrice A associe cette forme linéaire.
je me demande en quoi le fait de montrer que pour une matrice A non nulle trouver M inversible tel que : tr(AM) = 0, permet de conclure que tout hyperplan contient une matrice inversible ?
On montre d'abord que toute forme linéaire est de la forme M-->Tr(AM) pour une certaine matrice A.
Ensuite un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle, donc si je note ma forme linéaire f, il existe une matrice A telle que f(M)=Tr(AM).
Trouver une matrice inversible dans cet hyperplan revient à trouver une matrice inversible dans le noyau de f, c'est à dire trouver une matrice inversible telle que f(M)=0=Tr(AM).
D'accord merci Cauchy j'espère que tu patienteras encore à mes questions!
Les voilà :
1- je veux écrire Phi(M) que dois-je mettre ?
Phi(A) = f(M) ? Phi(A) = tr(AM) (là c'est plus défini sur Mn(K)) ? Ou il n'ya pas d'écriture spéciale ?
2- Ensuite on a voulu démontrer que si pour tout M dans Mn(K) :
tr(AM) = 0 => M=0, en quoi cela me permet de dire que toutes les formes linéaires sont de la forme tr(AM) ?
3- J'ai vu dans le topic d'elhor, tu as commencé par dire : Soit Eij appartient à H soit non ! Pourquoi as-tu fais cela ?
Merci pour ton aide
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