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Niveau Licence Maths 1e ann
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Image d'un cercle par une fonction complexe

Posté par
Fakie
08-10-15 à 20:06

Bonsoir, j'aurais besoin d'un peu d'aide juste pour une question :

Quel est l'image d'un cercle de centre (0,0) et de rayon r=1 par la fonction f: C -> C définie par f(z) = z² + 4.

Je pense que l'image du cercle par f est un cercle de rayon r=1²=1 et de centre (4,0) ( mais j'en suis pas sûre, et c'est ça je ne sais pas le démontrer )

merci de m'aider

Posté par
ThierryPoma
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 20:12

Bonsoir,

Le point M_a d'affixe e^{i\,a} appartient au cercle et f(e^{i\,a})=\cdots

Bonne soirée !

Posté par
Fakie
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 20:15

f(e^(ia)) = e^(2ia) + 4 mais je vois pas que faire ?

Posté par
Fakie
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 20:59

Mais est-ce que ma conjecture est vrai ou pas?

Posté par
verdurin
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 21:22

Pour a\in\R que peut-on dire de l'ensemble des points $e$^{2ia} + 4\ ?

Posté par
Fakie
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 21:27

ça représente un cercle

Posté par
lafol Moderateur
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 21:35

Bonjour
que peux-tu dire de |f(z) - 4|, lorsque |z| = 1 ?
quelle inclusion cette remarque prouve-t-elle ?
as-tu des idées pour l'inclusion réciproque ?

Posté par
Fakie
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 21:42

|f(z) - 4 | = 1 ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 21:47

je t'avais posé trois questions, si tu comptes bien les "?" ...

Posté par
Fakie
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 21:51

C'est parce que je ne sais répondre

Posté par
lafol Moderateur
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 08-10-15 à 22:51

tu as appris en sixième où se trouvent les points qui sont tous à la même distance d'un point fixé ....

Posté par
Fakie
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 09-10-15 à 09:09

|f(z) - 4 | = 1 implique que ça représente un cercle de rayon 1 et de centre (4,0)

Posté par
lafol Moderateur
re : Image d'un cercle par une fonction complexe 09-10-15 à 09:53

"ça" ?
essaie d'être un poil plus clair(e) dans tes formulations.
ça signifie que le point d'affixe f(z) est sur le cercle de centre le point d'affixe 4, et de rayon 1, oui
Autrement dit l'image du cercle unité est contenue dans ce cercle.
Il te reste à étudier la réciproque (ou encore à voir si l'image est le cercle entier, ou s'il manque une partie des points)



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