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Niveau Licence Maths 1e ann
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Image d'une fonction

Posté par
TheLantean
22-11-20 à 16:10

Bonjour,

Je voudrais que vous vérifiez si mon raisonnement est correct :
Le sujet demande de déterminer l'image de la fonction f:

x \rightarrow \sqrt{1-x²} sur I=[-1;1]

Sans vous ennuyer avec les détails, en voici les étapes :
1. Je dérive f et dresse son tableau de variations (là je me demande si les deux valeurs problématiques plombent tout le raisonnement ou si on peut se permettre d'exclure les valeurs extrêmes, car ça ne change fondamentalement pas grand chose).
2. Je déduis du tableau le min et le max de f sur I.
3. J'utilise le TVI pour démontrer que l'image de l'intervalle I par f est un intervalle.
4. Je déduis des questions précédentes que f:I \rightarrow [min(f);max(f)].
Ainsi Im(f) = [0;1].

Si (ce qui est probable) vous trouvez que tout ça manque de rigueur, où que le raisonnement n'est pas pertinent n'hésitez pas à m'aiguiller.

Merci pour votre aide,

Lantean

Posté par
carpediem
re : Image d'une fonction 22-11-20 à 16:17

salut

ouais c'est bien compliqué ... mais on peut ...

tout d'abord pour dériver il faut la continuité ...

mais si f est continue sur le compact (l'intervalle fermé) alors le TVI assure qu'elle prend toute ses valeurs entre son min et son max qui existent bien sûr ...

les variations du trinome x --> 1 - x^2 (élémentaire : cours première) permettent alors immédiatement de conclure ...

Posté par
TheLantean
re : Image d'une fonction 22-11-20 à 16:31

Excuse-moi carpediem, je ne conclus pas immédiatement. T'appuies-tu sur le fait que le trinôme a la même image que f ?

Posté par
carpediem
re : Image d'une fonction 22-11-20 à 17:34

bien évidemment il faut composer avec la fonction racine carrée ... mais cela change-t-il les choses ici ?

Posté par
TheLantean
re : Image d'une fonction 22-11-20 à 19:31

Merci, j'avais un doute. Tout se goupille bien !

Posté par
carpediem
re : Image d'une fonction 22-11-20 à 20:17

de rien

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