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Image par une application

Posté par
babaorum 07-11-16 à 21:32

Bonsoir,

J'ai quelques difficultés à résoudre cette exercice qui porte sur les images directes par une application.

Voici l'énoncé :
g1 :  
  
           x 1 / ( x+ i )

Prouver que g1 () = { z ; | z + i/2 | = 1/2 } \ {0}

Merci !

Posté par
lafol Moderateurre : Image par une application 07-11-16 à 21:35

Bonjour
as-tu essayé une double inclusion ?

Posté par
babaorumre : Image par une application 07-11-16 à 21:53

J'ai eu cette  idée mais je n'arrive pas à aboutir ...

Posté par
jsvdbre : Image par une application 07-11-16 à 22:31

Bonsoir à vous.
Alors dans ce cas commence par calculer \left |f(x) + \frac{i}{2}\right| et vois que cette quantité vaut \frac{1}{2} : ça te fera déjà une inclusion.

Posté par
DOMOREAre : Image par une application 08-11-16 à 14:40

bonjour,
autre possibilité   \frac{1}{x+i}=\frac{x-i}{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-i\frac{1}{\sqrt{x^2+1}})
= -sin(\theta)(cos(\theta)+isin(\theta))=\frac{i}{2}(cos(2\theta)+isin(2\theta)-1)

\theta \in]-\pi,0[ donc 2\theta \in ]-2\pi,0[
u=cos(2\theta)+isin(2\theta) est l'affixe d'un point du cercle  C(0,1) privé de I(1,0)
donc g_1(x)= \frac{i}{2}(u-1)  avec u\neq 1
g_1(x)+\frac{i}{2}=\frac{i}{2}u
|g_1(x)+\frac{i}{2}|=\frac{1}{2} avec g_1(x) \neq 0

Posté par
jsvdbre : Image par une application 08-11-16 à 15:17

Et pour l'inclusion réciproque, tu prends un z \in \C^* qui vérifie \left |z + \frac{i}{2}\right| = \frac{1}{2}.
Tu cherches à résoudre g_1(x) = z (c'est très facile !) et tu montres que la (oui ! g_1 est injective) solution que tu as trouvée est bien un nombre réel.

Posté par
DOMOREAre : Image par une application 08-11-16 à 15:27

re,
il y a une solution évidente, sans calcul ,pour ceux qui connaissent les inversions
les complexes x+i sont les affixes des points de la droite (D)  d'equation  y=1
considérons l'inversion géométrique OM'=1/OM , l'inversion complexe suivra l'inversion géométrique d'une symétrie par rapport à ox car \frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
le centre d'inversion est l'origine et le cercle d'inversion est le cercle trigonométrique  (ensemble des points fixes pour l'inversion géométrique)
la droite (D) est tangente au cercle d'inversion donc l'image de (D) par  l'inversion géométrique est le cercle de diamètre [OJ]  privé de O,  J d'affixe i ,  par l'inversion complexe, c'est le cercle de diamètre [OJ']   privé de O  (J' d'affixe -i)
d'où le résultat  exprimé  dans le texte

Posté par
verdurinre : Image par une application 08-11-16 à 18:42

Salut DOMOREA.

Sauf erreur de ma part, il y a longtemps que l'inversion a disparue des programmes.

Posté par
lafol Moderateurre : Image par une application 08-11-16 à 18:43

ça avait déjà disparu quand le dinosaure que je suis a fait ses études ...

Posté par
babaorumre : Image par une application 08-11-16 à 22:35

Merci beaucoup pour vos aides précises et précieuses !


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