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inégalité des accroisements finis

Posté par
Stemba 05-06-08 à 15:25

Démontré que pour tous x réel supérieur à0:
x-\frac{x^2}{2}<ln(1+x)<x
le Dl de ln(1+x) à l'ordre 2 est x-\frac{x^2}{2} (sa peut me servir?)
je démontre sa comment, quel est la méthode, je démontre par récurrence?

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 15:26

Bonjour.
Merci d'avance pour l'aide.

Posté par
orelore : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 15:29

salut, pour la première inégalité

utilise la formule de Taylor Lagrange à l'ordre 3

Posté par
orelore : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 15:30

heu... je suis peut être aller vite là...

Posté par
orelore : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 15:34

non ça devrait aboutir avec taylor lagrange sur l'intervalle [0,x]

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:02

il existe un c appartenant à [0,x] tel que
ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}c taylor lagrange à l'ordre 3
mais je voie pas comment utiliser sa

Posté par
Nightmarere : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:08

essaye d'encadrer le reste de Lagrange

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:25

pour c apartennant à [0,x] et pour x>0
0\frac{x^3}{3}c\frac{x^4}{3}
comme sa?

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:30

ensuite je peu dire que \frac{x^3}{3}c=ln(1+x)-x-\frac{x^2}{2}

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:32

oups c'est +\frac{x^2}{2}

Posté par
Nightmaredfd 05-06-08 à 16:35

Alors ,

Taylor-Lagrange à l'ordre 2 affirme l'existence d'un c dans [0,x] tel que :
3$\rm ln(1+x)=x-\frac{1}{2(c+1)^{2}}x^{2}

Or, 3$\rm 0\le c\le x 3$\rm \frac{x^{2}}{2(x+1)^{2}}\le \frac{x^{2}}{2(c+1)^{2}}\le \frac{x^{2}}{2}

Au final :
3$\rm -\frac{x^{2}}{2}\le \frac{x^{2}}{2(c+1)^{2}}\le -\frac{x^{2}}{2(x+1)^{2}}\le 0
ie
3$\rm x-\frac{x^{2}}{2}\le ln(1+x)\le x-\frac{x^{2}}{2(x+1)^{2}}\le x

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:39

ok merci beaucoup je vais en faire un autre pour voir si j'ai bien comprit.

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 16:53

je comprend pas l'emplacement du c de ln(1+x) à l'ordre 2
dans mon cour le théorème de Taylor Lagrange c'est:
il existe un c appartenant à ]a,b[ tel que:

f(b)=...+\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(c)

Posté par
Nightmarere : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 17:08

Oui et... ?

Quelle est la dérivée seconde de x->ln(1+x) ?

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 17:14

\frac{-1}{(1+x)^2} ok je vien de comprend pourquoi le c se trouver la, merci nightmare.

Posté par
Nightmarere : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 17:15

Je t'en prie

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 19:11

autre exercice:
(1+x)^{\frac{3}{2}}<1+\frac{3}{2}x+\frac{3}{8}x^2
taylor lagrange à l'ordre 2
il existe un c appartenant à [0,x] tel que:
(f^2=\frac{3}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}})
(1+x)^{\frac{3}{2}}=1+\frac{3}{2}x+\frac{3x^2(1+c)^{-\frac{1}{2}}}{8}
0\frac{3x^2(1+c)^{-\frac{1}{2}}}{8}x
\frac{3x^2}{8}\frac{3x^2(1+c)^{-\frac{1}{2}}}{8}\frac{3x^2(1+x)^{-\frac{1}{2}}}{8}
(1+x)^{\frac{3}{2}}1+\frac{3}{2}x+\frac{3}{8}x^2
je comprend pas pourquoi strictement inférieur et comment le prouver?
est ce bon ?

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 19:50

autre exercice:
|1-\frac{x^2}{2}-cos x| \frac{x^4}{24} pour tous x appartenant à [0,Pi/2]

taylor lagrange à l'ordre 4:
il existe un c appartenant à [0,x] tq:
cos x=1-\frac{x}{2}+\frac{x^4 cos c}{24}
suite...

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 20:51

0\frac{x^4cos c}{24}x
\frac{x^4}{24}\frac{x^4cos c}{24}\frac{x^4 cos x}{24}
\frac{x^4cos c}{24}=cos x-1+\frac{x}{2}
\frac{x^4}{24}cosx-1+\frac{x^2}{2}
\frac{x^4}{24}|-cosx+1-\frac{x^2}{2}|
quand on a un x>=0 alors une expression comme cosx-1+\frac{x^2}{2}=|-(cosx-1+\frac{x^2}{2})| ?
les 2 exercices sont bon?
pour l'exercice d'avant pourquoi strictement inférieur et comment le prouver?

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 21:15

dernier exercice d'entraînement:
Montrer que pour tout x appartenant à [0,pi/2] on a l'inégalité: x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}sin x
Taylor Lagrange à l'ordre 7:
il existe un c appartenant à [0,x] tq:
sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7cos c}{7!}
0\frac{x^7cos c}{7!}x
-\frac{x^7}{7!}-\frac{x^7cos c}{7!}
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}sin x
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 23:06

\frac{2}{pi}xsin xx
c'est dans mon chapitre fonctions convexes, je doit utiliser quoi pour le démontrer?

Posté par
Stembare : inégalité des accroisements finis 05-06-08 à 23:07

x appartient à [0,Pi/2]

Posté par
Camélia Correcteurre : inégalité des accroisements finis 06-06-08 à 15:26

Bonjour

Dans ce cas le plus simple est d'étudier la fonction sin(x)/x sur ton intervalle!


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