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intégrabilité avec plein de variables.

Posté par
Witaek 22-06-21 à 19:50

Bonsoir à tous. J'ai quelque difficultés à aborder un exercice d'analyse.

On considère  :

g : \R^+\rightarrow \R \\ \hspace{.4cm}x \mapsto \int_0^ne^{-tx}sin(t)dt
pour n >0

Montrer l'intégrabilité de g.

Je crois que je m'embrouille un peu entre toutes les variables étant donné qu'il y a du x, du t, du n... De coup je ne sais pas trop quel théorème utiliser, j'ai vaguement pensé au TCD mais je ne vois pas comment l'appliquer.

Pourriez vous m'éclairer ?
Merci d'avance !

Posté par
jandri Correcteurre : intégrabilité avec plein de variables. 22-06-21 à 20:46

Bonjour,

il n'est pas difficile de montrer que g est continue et bornée donc la seule difficulté est de montrer l'intégrabilité au voisinage de +\infty.

Pour cela il faut majorer |g(x)| donc majorer |\sin x|.

On voit que la majoration par 1 ne suffit pas, il faut donc mieux majorer.

Posté par
jandri Correcteurre : intégrabilité avec plein de variables. 22-06-21 à 20:47

Il faut majorer |\sin t|.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrabilité avec plein de variables. 22-06-21 à 22:31

Bonjour

Si je ne me trompe une double intégration par parties donne :


\Large \boxed{\int_0^ne^{-tx}\sin(t)dt=\frac{1-\cos(n)e^{-nx}-\sin(n)xe^{-nx}}{1+x^2}}

Posté par
jandri Correcteurre : intégrabilité avec plein de variables. 22-06-21 à 23:16

Bonjour elhor_abdelali ,

je suis d'accord avec ton résultat mais on n'a pas besoin de calculer cette intégrale pour démontrer que g est intégrable sur \R+, il suffit de majorer |g(x)| par une fonction intégrable et cela peut se faire sans calcul d'intégrale.


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