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Posté par
Endrews 05-11-17 à 16:05

Bonjour à tous,

Voici un problème qui me fait un petit peu galérer..:

Je dois trouver une valeur exact pour :
1/(u^3 - u²2 + u) - 1/2 1/(u²-u2 +1) + 1/(u^3+u²2 +u) + 1/2 1/(u²+u2 +1)
PS : toutes ces intégrales sont entre les bornes 0 et
Je n'arrive pas à trouver de primitive pour toutes ces fonctions rationnelles.

Je vous remercie d'avance pour vos conseils.

Cordialement

Endrews

Posté par
Slpokre : Intégrale 05-11-17 à 16:11

Salut

\huge \int \frac{1}{u^3-u^2\sqrt{2}+u}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2-u\sqrt{2}+1}+\int\frac{1}{u^3+u^2\sqrt{2}+u}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2+u\sqrt{2}+1}

c'est ça ?

Posté par
Razesre : Intégrale 05-11-17 à 16:23

Bonjour,


Simplifie quand c'est possible avant de passer à l'intégration, exemple
\dfrac{1}{u^3-u^2\sqrt{2}+u}= \dfrac{1}{u(u^2-u\sqrt{2}+1)}=\dfrac{a}{u}+ b\dfrac{(u^2-u\sqrt{2}+1)'}{u^2-u\sqrt{2}+1}+ \dfrac{c}{u^2-u\sqrt{2}+1}

Posté par
larrechre : Intégrale 05-11-17 à 16:39

Bonjour,

Je commencerais par regrouper les intégrales, la première avec la troisième, la seconde avec la quatrième avec réductions au même dénominateur pour voir si ça ne se simplifie pas un peu

Posté par
Endrewsre : Intégrale 05-11-17 à 18:59

Slpok @ 05-11-2017 à 16:11

Salut

\huge \int \frac{1}{u^3-u^2\sqrt{2}+u}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2-u\sqrt{2}+1}+\int\frac{1}{u^3+u^2\sqrt{2}+u}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2+u\sqrt{2}+1}

c'est ça ?


Oui c'est cela !

Posté par
Razesre : Intégrale 05-11-17 à 19:47

Les indices ne te suffisent pas? Tu veux la réponse intégrale?

Posté par
Endrewsre : Intégrale 05-11-17 à 20:22

J'ai déjà pensé à finir les intégrales avec les inverses de trinômes, en remarquant la primitive 1/1+v² pour arctan.

Cependant ce sont les intégrales de fonctions inverse de polynômes du 3ème degrés qui me bloque vraiment pour trouver des primitives remarquables.

Posté par
Razesre : Intégrale 05-11-17 à 20:37

Je t'ai donné un indice à  05-11-17 à 16:23

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale 05-11-17 à 22:06

Bonjour,

s'il n'y a pas d'erreur d'énoncé l'intégrale de 0 à +\infty diverge donc il n'y a rien à calculer!

Posté par
Tufygre : Intégrale 05-11-17 à 23:57

Bonjour,
si je ne me suis pas trompé, cela revient à calculer :
\int_{0}^{+\Join }{\frac{2u^3-u²\sqrt{2}+2}{u^5+u}}

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 06-11-17 à 00:08

Bonsoir
c'est donc bien divergent ....

Posté par
Endrewsre : Intégrale 06-11-17 à 00:13

Pourtant j'ai montré que c'était convergent..

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 06-11-17 à 00:16

tu peux donner l'énoncé complet et exact ? tu as ces intégrales depuis le départ, ou c'est déjà un résultat intermédiaire ?

Posté par
Razesre : Intégrale 06-11-17 à 00:21

Tufyg @ 05-11-2017 à 23:57

Bonjour,
si je ne me suis pas trompé, cela revient à calculer :
\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{2u^3-u²\sqrt{2}+2}{u^5+u}}
Tu ne peux integrer directement cette forme. Tu aurais pu laisser la forme décomposée avant de passer à l'intégration.

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 06-11-17 à 00:23

pas besoin de passer à l'intégration : ça diverge !!!!

Posté par
Razesre : Intégrale 06-11-17 à 01:32

On sait que ça diverge. Mais il y a des étapes pour justifier cela (au moins déterminer les termes \dfrac au) à moins que le fait de dire que  lafol et jandri l'on dit suffise?

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 06-11-17 à 07:13

La forme donnée parTufyg le montre sans aucun calcul supplémentaire....

Posté par
larrechre : Intégrale 06-11-17 à 18:34

@Endrews

N'y a-t-il pas un signe signe moins à cet endroit qui permettrait de donner un sens à cet exo ?

\huge{\int \frac{1}{u^3-u^2\sqrt{2}+u}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2-u\sqrt{2}+1}{\red{-}}\int\frac{1}{u^3+u^2\sqrt{2}+u}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2+u\sqrt{2}+1}}

Posté par
Endrewsre : Intégrale 06-11-17 à 19:21

Bonsoir !

Bon effectivement cette question fait partie d'un contexte, je vais vous écrire tout le début pour que vous compreniez mieux mon problème !

1) Quelles sont les racines complexes du polynôme X^4 +1 ? En déduire une factorisation de ce polynôme en deux facteurs réels du second degré.

2) Déterminer a, b, c, d tels que 1/(x^4 +1 ) = \frac{ax+b}{(x²-x\sqrt{2}+1) } + \frac{cx+d}{(x²+x\sqrt{2}+1) }

3) Montrer que l'intégrale \int_{0}^{+inf }{\frac{dt}{\sqrt{t}(1+t²)}} converge.
Calculer sa valeur en effectuant le changement de variable u = \sqrt{t}, et en utilisant la décomposition obtenue dans la Q2.

4) Soit un réel strictement positif.
Pour quelles valeurs de l'intégrale \int_{0}^{+inf}{\frac{arctan(t)}{t^{\alpha }}} converge-t-elle?
Calculer alors sa valeur pour = 3/2

5) Mq n , In = \int_{0}^{+inf}{\frac{arctan(t)}{t^{3/2}+t^n}dt} converge.

6) Soit fn = \frac{arctan(t)}{t^{3/2}+t^n}[/tex] t strictement supérieur à 0.
Étudier la convergence simple sur ]0,+inf[ de la suite de fonctions fn.

7)En utilisant le théorème de convergence dominée, déterminer lim In lorsque n

Voila,

J'ai donc fait les questions 1, 2 et ma question reposait sur la 3.

1) J'ai simplement trouvé les racines en multipliant les racines 4èmes de l'unité par une racine 4ème particulière de -1, soit e^{i\Pi } donc j'ai obtenu les racines 4ème de -1, soit e^{\frac{i\Pi}{4} }, e^{\frac{3i\Pi}{4} }, e^{\frac{5i\Pi}{4} }, e^{\frac{7i\Pi}{4} }

2)Je me suis débrouiller et j'ai trouvé a = -1/2, et b,c,d = 1/2

3) Problème ..

Voila je vous ai tout expliqué, je suis vraiment désolé toute cette lecture mais cela me semblait indispensable pour que vous cerniez mon problème..

Merci beaucoup !

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 06-11-17 à 19:45

Tout s'explique !
D'où sortent les cubes ?
Tu es oublié l'élément différentiel, quand tu as fait ton changement de variables

Posté par
Endrewsre : Intégrale 06-11-17 à 19:59

Je me doute que mon problème vient de l'utilisation de la Q2 pour la Q3...
En posant u = racine(t), on va obtenir \int_{0}^{+inf}{\frac{du}{u(1+u^4)}} et j'ai essayé d'utiliser la Q2!

Posté par
larrechre : Intégrale 06-11-17 à 21:44

Non, il y a une erreur.

Si u=\sqrt{t}, en différentiant, on obtient du=\dfrac{dt}{2\sqrt{t}}]...

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 06-11-17 à 22:03

Endrews @ 06-11-2017 à 19:59

Je me doute que mon problème vient de l'utilisation de la Q2 pour la Q3...
En posant u = racine(t), on va obtenir \int_{0}^{+\infty}{\frac{du}{u(1+u^4)}} et j'ai essayé d'utiliser la Q2!

ben justement non, on ne va pas obtenir ça !

Posté par
Endrewsre : Intégrale 07-11-17 à 18:55

Je vous avouerais que le terme différentiel me bloque légèrement alors dans ce cas.

Posté par
Endrewsre : Intégrale 09-11-17 à 12:47

Pouvez-vous m'aider par rapport à ce "du" ?
Car ce n'est pas encore très clair..

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 09-11-17 à 12:58

quand tu poses u = \sqrt t, ou encore t = u^2, tu as dt = 2u\;du (puisque la dérivée de t par rapport à u, \dfrac{dt}{du}, vaut 2u)

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 12:39

Donc finalement cela me donnerais

\int_{0}^{+inf}{\frac{2u}{u(1+u^{4})}du} ?

Posté par
carpediemre : Intégrale 11-11-17 à 12:44

salut

3/ as-tu au moins montré que l'intégrale convergeait ?

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 13:39

carpediem @ 11-11-2017 à 12:44

salut

3/ as-tu au moins montré que l'intégrale convergeait ?

Non pas encore..

Posté par
carpediemre : Intégrale 11-11-17 à 15:18

alors peut-être faire les choses dans l'ordre ...

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 15:20

Certes, mais je ne vois pas comment faire

Posté par
carpediemre : Intégrale 11-11-17 à 16:01

f(t) = \dfrac 1 {\sqrt t (1 + t^2)}

0 < f(t) \le \dfrac 1 {\sqrt t}

t \ge 1  =>  0 < f(t) \le \dfrac 1 {t^2}

...

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 16:07

Merci, mais en ce qui concerne t [0,1] ?

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 11-11-17 à 16:07

Autre méthode, puisqu'il s'agit de fonction positive : considérer des équivalents, tant en 0 qu'en l'infini

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 16:09

Mais du coup pour prouver qu'elle converge, c'est le cas ici entre 1 et + inf, sauf qu'il nous manque l'intervalle [0,1] pour conclure ?

Posté par
carpediemre : Intégrale 11-11-17 à 16:10

un peu de sérieux !!!

tu as la réponse et en 0 et en +oo !!!


et après l'intervention de lafol je peux même te dire que j'ai majoré par son équivalent en une des bornes ...

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 16:13

Ce n'est pas vraiment clair, mais soit, merci !

J'aimerais en revenir sur l'intégrale en lui même,

Endrews @ 11-11-2017 à 12:39

Donc finalement cela me donnerais

\int_{0}^{+inf}{\frac{2u}{u(1+u^{4})}du} ?
, est ce donc cela qu'il me faut étudier à présent ?

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 11-11-17 à 16:22

j'imagine que tu n'as pas encore vu que tu pouvais simplifier ta fraction et utiliser le résultat de la question 2 ?

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 16:25

Je vous rassure, bien entendu.
J'en déduis que c'est bien cet intégrale que je dois étudier, merci.

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 16:44

Même en utilisant la Q2 je suis confronté à des intégrales assez difficiles, je trouve :
\int \frac{-u}{u² - \sqrt{2}*u +1 } du + \int \frac{1}{u² - \sqrt{2}*u +1 }du + \int \frac{u}{u² + \sqrt{2}*u +1 }du + \int \frac{1}{u² + \sqrt{2}*u +1 } du
Des conseils pour résoudre ?

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 16:44

PS : en ayant décomposé au maximum

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 11-11-17 à 16:56

1) il ne faut surtout pas couper ton intégrale en morceaux : il y en a qui divergent, il faut absolument tout laisser dans la même et simplifier la primitive avant de calculer les valeurs aux bornes

2) ta question 2 était inexacte

3) dans des trucs genre (ax+b)/(x² + Ax+B), cherche à reconnaitre pour les termes en x du numérateur, un multiple de la dérivée du dénominateur, histoire d'avoir du u'/u
ce qui restera sera de la forme constante/trinôme : tu mets le trinôme sous forme canonique, tu mets la constante de la forme canonique en facteur au dénominateur, et tu poses t = ce qu'il faut pour avoir une forme en 1/(1+t²), histoire de trouver des arctan

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 17:04

Mes coefficients a,b,c,d sont faux ?

Posté par
Razesre : Intégrale 11-11-17 à 17:04

Bonjour,

2) Vérifie les valeurs trouvées de a,b,c,d; de mon coté, j'avais trouvé:

a=-\dfrac{\sqrt{2}}{4};c=\dfrac{\sqrt{2}}{4}; b=d=\dfrac{1}{2}

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 11-11-17 à 17:12

me too !

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 17:14

Razes @ 11-11-2017 à 17:04

Bonjour,

2) Vérifie les valeurs trouvées de a,b,c,d; de mon coté, j'avais trouvé:

a=-\dfrac{\sqrt{2}}{4};c=\dfrac{\sqrt{2}}{4}; b=d=\dfrac{1}{2}

Exact, j'ai eu une petite disparition sans raison d'un facteur racine(2) durant mon calcul, merci !

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 17:23

lafol @ 11-11-2017 à 16:56

1) il ne faut surtout pas couper ton intégrale en morceaux : il y en a qui divergent, il faut absolument tout laisser dans la même et simplifier la primitive avant de calculer les valeurs aux bornes

2) ta question 2 était inexacte

3) dans des trucs genre (ax+b)/(x² + Ax+B), cherche à reconnaitre pour les termes en x du numérateur, un multiple de la dérivée du dénominateur, histoire d'avoir du u'/u
ce qui restera sera de la forme constante/trinôme : tu mets le trinôme sous forme canonique, tu mets la constante de la forme canonique en facteur au dénominateur, et tu poses t = ce qu'il faut pour avoir une forme en 1/(1+t²), histoire de trouver des arctan


Il ne me semble pas qu'il y est, dans mon cas, un multiple de la dérivée du dénominateur, j'ai :
\int \frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}u+\frac{1}{2}}{u²-\sqrt{2}u+1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}u+\frac{1}{2}}{u²+\sqrt{2}u+1} du

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 11-11-17 à 17:52

tu as oublié que tu as un 2 au numérateur

la dérivée du bas est 2u - \sqrt 2 pour la première fraction

écris que \dfrac{-\sqrt 2}{2}u + 1 = \dots\left(2u - \sqrt 2\right) + \dots

je te laisse trouver par quels nombres (indépendants de u, des constantes) remplacer les pointillés

même méthode pour la seconde fraction

Posté par
Endrewsre : Intégrale 11-11-17 à 20:37

Je trouve donc :
\frac{-\sqrt{2}}{2}u+1=\frac{-\sqrt{2}}{4}(2u-\sqrt{2}) + \frac{1}{2}
Ey pareil pour l'autre fraction, avec des signe +.

Mais du coup maintenant, il me faut séparer le terme constant de la dérivée non ?

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale 11-11-17 à 22:31

oui, tu as d'une part un truc du genre constante fois u'/u, et d'autre part quelque chose qui est du genre constante sur trinôme : reprends la fin de mon explication dans le 3) tout à l'heure

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