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Niveau maths spé
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Integrale

Posté par
jersalh
27-02-23 à 22:35

Bonjour les amis
S il vous plaît aider moi à calculer cet intégrale

\[ \int_{0}^{\ +\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \]      avec
f(x)=\frac{1-exp(-t^2)}{t^2}

Posté par
matheux14
re : Integrale 27-02-23 à 23:42

Bonsoir, que proposes tu ?

On peut commencer par remarquer que l'intégrande a une singularité en x = 0, ce qui rend l'intégrale potentiellement difficile à évaluer.

Pour résoudre ce problème, on peut utiliser le changement de variables u = x^2, de sorte que l'intégrale devienne :

\begin{aligned}\int_{0}^{\ +\infty} \dfrac{1- \exp(-x^2)}{x^2} dx = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\ +\infty} \dfrac{1- \exp(-u^2)}{u^{1/2}} du \end{aligned} (en utilisant la substitution u = x^2 et dx = (1/2)u^{ -1/2} du)

Ensuite on sait que :

\begin{aligned}\int_{0}^{\ +\infty} \dfrac{\exp(-au)}{u^{1/2}} du = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\end{aligned} (où a > 0, Laplace, \Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right), intégrale de Gauss...)

On peut alors calculer cette intégrale en différenciant le machin sous l'intégral par rapport à a et en évaluant par rapport à a = 1.

Posté par
phyelec78
re : Integrale 27-02-23 à 23:51

Bonsoir,

je pense que vous pouvez y arrivez en faisant votre intégration de epsilon  à  +\infty puis en passant à la limite quand epsilon tend vers 0.  Faites une ipp pour la partie avec l'exponentielle.

Posté par
phyelec78
re : Integrale 27-02-23 à 23:56

oups! pas en forme ce soir. ne pas prendre mon poste en compte.

Posté par
phyelec78
re : Integrale 28-02-23 à 00:08

bon et bien je pense que cela fonction finalement sauf erreur de ma part. v'=1/t^2 et u= exp(-t2)

Posté par
jersalh
re : Integrale 28-02-23 à 00:14

Merci les amis pour votre intervention
La denière idée de phyelec78 marche  très bien



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