Bonjour,

Mes souvenirs dans ce domaine sont très lointains mais on ne peut pas utiliser le théorème des résidus dans un cas comme ça ?

Surtout ne m'en demande pas plus

Lol peut être, mais je commence tout juste en analyse complexe, et je n'en suis pas au théorème des résidus. Je voulais vraiment une méthode basique ! Merci de ta réponse en tout cas.

Bonjour

Oui, bien sur c'est un cas classique de résidus. Si on ne connait pas, le carré est homotope dans au cercle de centre 0 et de rayon 1, sur lequel on intègre sans aucune difficulté!

Merci pour cette réponse Camélia.

C'est bizarre, parce que je travaille sur un cours de L3, et cet exo tombait avant la partie sur les résidus, et le cours n'aborde pas la notion d'homotopie. N'y a t-il vraiment aucun autre moyen basique ?

Et comment intègre t-on sans difficulté sur le cercle ?

Bonsoir.

C'est assez étrange que ton cours n'utilise pas l'homotopie ...

Sinon, tu peux toujours intégrer sur chaque segment séparément, et en utilisant une détermination du logarithme différente pour le côté qui pose problème. (en mettant la coupure de l'autre côté par exemple)

Le calcul avec le cercle se fait directement en revenant à la définition.

Si tu as vu la formule intégrale de Cauchy sur un contour fermé simple (ce qui me paraitrai surprenant, si tu ne connais pas l'homotopie), tu peux essayer de l'utiliser.

Alors avec la formule de Cauchy, je peux écrire que (z-1)/z=2-1/z=2-2i*f(0)*Ind(0,cercle unité) si je note f la fonction z->-1/z. Mais f n'est pas définie en zéro... Comment faire ?

Tu ne sembles pas maitriser le théorème de Cauchy ...
Ce n'est clairement pas la bonne méthode.
De plus l'intégrale sur une courbe fermée d'une constante est nulle donc tes calculs sont doublement faux.

Ok, il fallait que je parte rapidement et j'avoue que mes commentaires peuvent sembler un peu cassant.

Il est très clair que l'intégrale d'une constante est toujours nulle sur tout chemin fermé. Cela découle directement du théorème fondamental du calcul.

Pour la formule de Cauchy, avec les bonnes conditions on a

ici w=0 et f(z)=1 pour tout z donne la réponse ...

Normalement tu devrais quand même être capable de t'en tirer directement et sans théorème.

Alors si j'ai bien compris :

le carré étant homotope à un cerle, l'intégrale de 1/z sur le carré est égale à l'intégrale de 1/z sur le cercle unité. Par la formule de Cauchy, cette intégrale est égale à 2i. L'intégrale de (z-1)/z est donc égale à -2i.

Sinon, la formule de Cauchy donne que l'intégrale de 1/z sur le carré est égale à 2i*Ind(0,carré). Comment peut-on voir simplement que l'indice de 0 par rapport au carré est 1 ? D'après ce que j'ai, cet indice correspond au "nombre de tours" qu'on fait autour du point, là c'est clarement 1, mais ça suffit comme justification ?

Merci de votre aide à tous

D'après ce que j'ai, cet indice correspond au "nombre de tours" qu'on fait autour du point, là c'est clarement 1, mais ça suffit comme justification ?
Oui, mais il faut que tu ne passes qu'une fois et une seule sur le carré et dans un ens bien précis ... (le sens antihoraire probablement).