Bonsoir, dans le cadre des séries de Fourier, il y a une notion que je ne parviens toujours pas à comprendre.
Il est dit que :
Si f est une fonction 2π-périodique et continue par morceaux, alors pour tout a réel :
J'applique donc cette relation pour a=-π :
Maintenant je considère la fonction f 2π-périodique définie par f(t)=t pour
Celle-ci étant C1 par morceaux, la relation s'applique en théorie.
Mais, lorsque je calcule séparément et , j'obtiens que la première vaut 0 tandis que la seconde vaut 2π²...
Donc je ne comprends pas
D'après les données, je dirais que f(t)=t-2π pour t dans ]π, 2π] avec f(π)=π et, en effet, avec un dessin je me rends compte que l'intégrale de 0 à 2π de f(t) est égale à 0.
Mais du coup, on ne peut pas la calculer "brutalement" avec les méthodes classiques ?
si on peut mais il faut connaitre/déterminer l'expression de f sur l'intervalle considéré :
f(t) = t sur l'intervalle [-pi, pi] et f est 2pi-périodique <=>
pour tout entier relatif k et tout t de l'intervalle [ + k2, + (k + 1)2] = [- + k2, + k2] : f(t) = t - k2
Tu peux exprimer f assez facilement en l'occurence, pour tout x.
Ensuite, pour tous deux réels , on aura .
En utilisant la 2\pi-périodicité et en notant , on est ramené à .
Pour ,
.
ce qui veut dire que
* si a+pi est multiple de 2pi, alors pour tout
* sinon, il faut rajouter 1 si
ou en plus condensé, en notant et ,
et
Si bien que
Sauf erreur de calcul, ce qui est fort possible vu les notations
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