Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

integrale de |sin(nt)|

Posté par
Yosh2 08-05-21 à 19:31

bonjour
pouvez vous m'aider a montrer que lim |sin(nt)| dt  = 2(b-a)/ lorsque n ( l'integrale entre b et a)
l'autre expression faisant intervenir le sinus et 2/ que je connaisse est l'inegalite de concavite
pour tout x de [0 ,/2] sin(x) >= 2x/ , mais elle n'est valable que pour un intervalle restreint , de plus la presence du x influe sur la valeur de l'integrale.
merci a vous

Posté par
carpediemre : integrale de |sin(nt)| 08-05-21 à 21:18

salut

l'intégrale est sûrement entre a et b ...

poser surement u = nt et faire un changement de variable ...

Posté par
jandri Correcteurre : integrale de |sin(nt)| 08-05-21 à 21:30

Bonjour,

je suis d'accord avec carpediem.
Ensuite il faut partager l'intervalle [na,nb] avec des intervalles de la forme [k\pi,(k+1)\pi] sur lesquels l'intégrale de |\sin(u)| se calcule.

Posté par
Yosh2re : integrale de |sin(nt)| 08-05-21 à 23:21

bonsoir
j'ai un peu de mal a trouver les bornes des intégrales obtenue en utilisant la relation de chasles , en effet ne connaissant pas a et b je ne sais si à leur voisinage le sinus est positif ou negatif , de plus meme en me concentrant juste sur les intervalles intérieurs je peux dire que pour k pair le sinus est positif et pour les k impair le sinus est negatif mais ca ne m'avance pas trop j'avoue ne toujours pas savoir d'ou sortira le 2/

Posté par
jandri Correcteurre : integrale de |sin(nt)| 08-05-21 à 23:29

Comme il y a un n au dénominateur (après le changement de variable), les deux intégrales aux extrémités ont une limite nulle :
si (k_1-1)\pi\leq na\leq k_1\pi alors \dfrac1n\int_{na}^{k_1\pi}|\sin(u)|du\leq \dfrac{\pi}n

Posté par
Yosh2re : integrale de |sin(nt)| 09-05-21 à 00:04

bonsoir
voici ou je bloque
\dfrac1n\int_{na}^{nb}|\sin(u)|du  = \dfrac1n\int_{na}^{k_1\pi}|\sin(u)|du+\dfrac1n\sum_{k=k_1}^{k_2-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin(u)|du +\dfrac1n\int_{k_2\pi}^{nb}|\sin(u)|du
ensuite

\dfrac1n\sum_{k=k_1}^{k_2-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin(u)|du = \dfrac1n\sum_{k pair}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin(u)du - \dfrac1n\sum_{k impair}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin(u)du = \dfrac1n\sum_{k pair}2 - \dfrac1n\sum_{k impair}(-2) = \dfrac1n\sum_{k=k_1}^{k_2-1}2

ainsi je sais que k1 et k2 doivent dependre de a ,b,n et pi mais je vois pas comment obtenir leur expression
merci

Posté par
jandri Correcteurre : integrale de |sin(nt)| 09-05-21 à 08:49

Bonjour,

on n'a pas besoin de calculer k_1 et k_2, il suffit d'encadrer (k_2-k_1)\pi à l'aide de na,nb,\pi

Posté par
Yosh2re : integrale de |sin(nt)| 09-05-21 à 11:53

bonjour
en partant de (k_1-1)\pi <= na <= k_1\pi   et  k_2\pi <= nb <= (k_2+1)\pi je trouve n(b-a) -2\pi <= (k_2-k_1)\pi <= n(b-a) puis 2(b-a)/\pi -4/n <= 2(k_2-k_1)/n <= 2(b-a)/\pi puis par passage a la limite on trouve le résulat voulu.
merci a vous pour votre aide

Posté par
carpediemre : integrale de |sin(nt)| 09-05-21 à 12:20

de rien

vu la valeur absolue il semble naturel de pouvoir intégrer sur des intervalles où l'intégrande ne change pas de signe donc de la forme [k, (k + 1)] ... grace à la relation de Chasles ...

le changement de variable est le moyen le plus simple d'y parvenir ... d'autant plus qu'il fait apparaitre un facteur 1/n qui a le bon goût de tendre vers 0 à l'infini et qu'on intègre alors une fonction bornée sur des intervalles de longueur maximale donc bornés ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !