Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

intégrale de Wallis et formule de Stirling.

Posté par
Parano 03-04-09 à 23:24

Bonsoir,

J'ai quelques question à propos de mon DM qui porte sur l'intégration et plus préciséement sur les intégrales de Wallis et la formule de Stirling.

Tout d'abord une question d'intégration assez générale :

On a In = 1nln(t)dt = ln(n)n-n+1. Puis une autre suite Un = ln(n!)-1/2*ln(n). Il faut montrer que Vn = (In-Un) est croissante pour n2

J'ai donc étudié le signe de Vn+1-Vn. J'obtiens donc (ln(n+1)-ln(n))*(n+1/2) - 1. Le problème est donc de montrer que cette quantitée est supérieure ou égale à 0 pour n1. Et là je suis complètement bloqué, en encadrant la quantité je n'arrive à rien. C'est le -1 qui m'embête...

Deuxième question qui porte sur les intégrales de Wallis :

A un moment du problème il m'est demandé cela :
Soit ]0,[ montrer qu'il existe n telle que pour tout n n on a :
0(-)/2sin(t)ndt < /2. Et là je n'ai aucune idée de comment procéder.

Enfin il faut montrer que Wn+1/Wn 1 lorsque n en sachant que Wn = 0/2sin(t)ndt. Il faudrait essayer de procéder par encadrement, mais comment encadrer une quotient d'intégrale ?

Donc si vous avez des idées de progression ça m'aiderait beaucoup.
Merci et bonne soirée !

Posté par
carpediemintégrale de Wallis et formule de Stirling 03-04-09 à 23:36

salut

ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)1/n+o(1/n)

mutiplie par n+1/2...

Posté par
Paranore : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 13:10

Merci beaucoup, je ne'avais pas penser a utiliser les equivalents ! Quelq'un aurait une idée pour les deux autres questions ?

Posté par
slorevivre : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 16:10

Bonjour,
autre idée pour (ln(n+1)-ln(n))*(n+1/2) - 1.plus grand que 0: cela revient à montrer que
\ln(x)-\ln(a)\geq \frac{x-a}{(\frac{x+a}{2})} pour x\geq aon etudie la fonction de x :g(x)=\ln(x)-\ln(a)-\frac{2(x-a)}{x+a}derivee g'(x)=\frac{1}{x}-4\frac{a}{(x+a)^2}=\frac {(x+a)^2-4ax}{(x+a)^2}=\frac {(x-a)^2}{(x+a)^2}donc g croissante sur [a;+\infty[et g(a)=0 donc g positive

Posté par
slorevivre : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 16:40

a ta 2eme question , ta suite d'integrales est décroissante positive  et plus petite que la suite geo (\sin(\frac{\pi-\epsilon}{2})^n\times \frac{\pi}{2}
qui tend vers 0 donc si
\epsilon est fix\'e
il existe bien le n_{\epsilon} tel que n\geq n_{\epsilon}\Longrightarrow (\sin(\frac{\pi-\epsilon}{2})^n\times \frac{\pi}{2}\leq \frac{\epsilon}{2}et donc il en de même pour l'integrale

Posté par
slorevivre : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 16:51

ensuite tu integres I_n par parties : (\sin(t))^n=(\sin(t))^{n-2}(1-(\cos(t))^2)=(\sin(t))^{n-2}-[(\sin(t))^{n-2}\cos(t)]\times \cos(t)
W_n=W_{n-2}-([\frac{\sin(t)^{n-1}}{n-1}\cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{W_n}{n-1})
(n-1)W_n=(n-1)W_{n-2}-W_n; W_n=\frac{n-1}{n}W_{n-2}
\frac{n+1}{n}=\frac{W_{n+2}}{W_n}\leq \frac{W_{n+1}}{W_n}\leq 1et tu termines par le th des gendarmes ...sauf erreur de calcul

Posté par
slorevivre : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 17:39

ma derniere ligne au bout à gauche est fausse lire àla place de \frac{n+1}{n}  la fraction \frac{n+1}{n+2}
mais la fin par le th des gendarmes est correcte... enfin c'est à relire quand même

Posté par
Paranore : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 17:39

Merci beaucoup à vous, sloreviv et carpediem.

J'avais finalement trouvé pour la limite de Wn+1/Wn mais l'aide pour l'existence de n m'est précieuse.

Bonne journée

Posté par
Paranore : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 18:13

J'ai essayé d'appliquer ce que tu dis pour la deuxième question mais je ne comprend pas.

Déjà comment montrer que la suite d'intégrale est plus petite que la suite géométrique que tu proposes ?

Car moi j'ai sin(t)n < 1
donc 0 < /2

mais je ne vois pas comment trouver l'inégalité que tu proposes.

Posté par
slorevivre : intégrale de Wallis et formule de Stirling. 04-04-09 à 19:41

oui mais ta borne d'en haut de l'integrale ce n'est pas pi/2 mais un peu moins: par \frac{\pi-\epsilon}{2} donc sinus est majore par un nombre <1 sur cet intervallece nombre c'est \sin(\frac{\pi-\epsilon}{2})  


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !