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Intégrales

Posté par
Stemba 01-06-08 à 13:09

Bonjour,
Je m'entraîne sur les intégrales, je posterais donc des séries d'exercices .

Exercice 1 (décomposition en éléments simples)

calculer \int_0^{2}\frac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)}

je commence par décomposer en éléments simples:
\frac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac {A1}{(x+1)^2}+\frac {A2}{(x+1)}+\frac {Cx+D}{(x^2+1)}

maintenant je détermine A1,A2,C et D:

(f(x)(x+1)^2)=\frac{x^4}{(x^2+1)}= A1+ A2(x+1)+\frac {(Cx+D)(x+1)^2}{(x^2+1)}
pour x=-1 A1=\frac{1}{(1+1)}=\frac {1}{2}

(f(x)(x+1))=\frac{x^4}{(x+1)(x^2+1)}=\frac {A1}{(x+1)}+ A2+\frac {(Cx+D)(x+1)}{(x^2+1)}

la je comprend pas car j'ai x+1 au dénominateur de A1 et de x^4, comment avoir une expression avec juste A2 avec sa vu que je peu pas mettre x=-1?

ma méthode est telle correcte?

merci d'avance pour votre aide.

(ps: la réponse ne m'intéresse pas, je veux juste comprendre la méthode et les techniques)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-06-08 à 13:10

Salut !

tu peux d'abord trouver C et D. Evalue après en 0

Posté par
Nightmarere : Intégrales 01-06-08 à 13:10

Bonjour,

le format de ta DES n'est pas bon, le degré de ton numérateur est égal au degré de ton dénominateur. Il y a donc une partie entière non nulle.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-06-08 à 13:13

ah oui en effet, faut chercher d'abord la partie entière !

Salut Jord !

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 13:24

Alors si j'ai bien comprit je ne peu pas utiliser la DES car je n'est pas Deg P < DEG Q?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-06-08 à 13:25

cherche d'abord la partie entière, après tu fais la DES

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 14:19

je comprend pas trop ce que vous voulez dire par partie entière mais si j'ai bien comprit mon cour vu que deg Pdeg Q je fait la division euclidienne de P par Q et ensuite je me ramène sur
f(x)=h(x)+\frac {R(x)}{Q(x)} ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-06-08 à 14:26

Oui c'est ça, effectue la division euclidienne pour trouver h(x).

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 14:47

j'ai fait la division euclidienne, je trouve:
h(x)=1-\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}
R(x)=2+\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}

=> f(x)=1-\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}+\frac {2}{x}+\frac {2+\frac {2}{x}+\frac {2}{x^2}-\frac {2}{x^3}}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}

est ce sa que je doit trouver?
faut que je simplifie pour ensuite faire mon intégrales?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-06-08 à 15:10

h est un polynôme !!!

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 15:22

je fait la division euclidienne de p(x)=x^4 par q(x)=x^4+2x^3+2x^2+2x+1 donc je trouve le h(x) noté ci-dessus, je vois pas ce que je pourrai trouver d'autre.
je voie pas mon erreur :/

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-06-08 à 15:30

3$\rm\frac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)}=1-\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)^2(x^2+1)}

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 16:41

je comprend plus la, dans mon cour il faut faire la division euclidienne de P par Q ce que j'ai fait, pourquoi est ce faut?

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 16:43

Ouh non c'est bon je viens de comprendre
merci je continue et je reposte ensuite merci !

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 18:27

h(x)=1 (on prend que la partie polynômiale de la division euclidienne)
R(x)=2x^3+2x^2+2x+1
=> f(x)=1-\frac {2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)^2(x^2+1)}

décomposition en éléments simples:
\frac {A1}{(x+1)^2}+\frac {A2}{(x+1)}+\frac {Bx+C}{(x^2+1)}

(f(x)(x+1)^2)=A1+A2(x+1)+\frac {(Bx+C)(x+1)^2}{(x^2+1)}=\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{(x^2+1)}

pour x=-1 A1=-\frac {2(-1)^3+2(-1)^2+2(-1)+1}{(-1)^2+1}=\frac {1}{2}


(f(x)(x+1))=\frac {1}{2(x+1)}+A2+\frac {(Bx+C)(x+1)}{(x^2+1)}=-\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)(x^2+1)}

je rencontre le même problème qu'avant

(f(x)(x^2+1))=\frac {(x^2+1)}{2(x+1)^2}+\frac {A2(x^2+1)}{(x+1)}+Bx+C=-\frac {2x^3+2x^2+2x+1}{(x+1)^2}

pareil pour celui la...

comment trouver A2 et Bx+C alors que je ne peu pas avoir qu'une inconnue
Pour A2 je peut pas virer Bx+C car -1 est impossible vu que le dénominateur serait 0 pour A1, même soucis pour Bx+C.
comment faire?

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 19:47

en attendant d'avoir de l'aide pour l'exercice 1 je passe à l'autre

Exercice 2:
Calculer
1/\int_1^{e}x^2 lnx dx
2/\int_1^{2}\frac {1}{x(1+lnx)^3} dx

1/ u=ln x  v'=x^2
   u'=\frac{1}{x}  =\frac{x^3}{3}

\int_1^{e}x^2 lnx dx=[\frac {x^3}{3}ln x]_1^{e} -\frac {1}{3}\int_1^{e}x^2
=\frac {e^3}{3}ln e -\frac {1}{3}[\frac {x^3}{3}]_1^{e}=\frac {e^3}{3}-\frac {e^3}{3}+\frac {1}{9}=\frac {1}{9}

si y'a une erreur merci de m'informer

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 23:02

3/ Calculer I1=\int_0^{x}\frac {1}{t^2+1}dt
u=\frac {1}{t^2+1}dt v'=1
u'=\frac {-2x}{(t^2+1)^2}dt v=x

I1=[\frac {x}{t^2+1}dt]_0^{x}-\int_0^{x}\frac{-2x^2}{(1+x^2)^2}
je voie pas comment résoudre cette intégrale, peut importe le nombre d'intégration je n'obtiendrai pas de primitive !
Help :'(

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 01-06-08 à 23:11

Salut

\Bigint_0^x \frac{1}{1+t^2}dt=\[arctan(t)\]_0^x

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 23:33

ha je suis bette merci.
I2=\int_0^{x}\frac{1}{(x^2+1)^2}dx

décomposition en éléments simples:
P<Q donc->
\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{A1}{(x^2+1)^2}+\frac{A2+B}{(x^2+1)}

(f(x)(x^2+1)^2)=A1+(A2+B)(x^2+1)=1

et la re blocage avec cette méthode, quelqu'un pourrai m'expliquer la méthode de décomposition en éléments simples avec un exemple concret car j'ai juste ma formules dans mon cour et aucun exemple...

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 01-06-08 à 23:45

Tu es sûr que les deux numérateurs sont des constantes ?

Posté par
Stembare : Intégrales 01-06-08 à 23:46

c'est le ta méthode de la décomposition en éléments simples donc normalement oui.

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 02-06-08 à 00:36

Salut

Déjà j'écrirai plutôt I_2=\Bigint_0^x \frac{1}{(1+t^2)^2}dt

Tu peux poser ensuite t=tan(u)

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 02-06-08 à 00:43

Sinon, calcule I_2-I_1, puis IPP avec u=t et v'=t/(1+t²)²

Posté par
mikayaoure : Intégrales 02-06-08 à 07:06

pour la 2° c'est "évident"

regarde ce que donne (1+lnx)'...

2° = ( 1 - 1/(1+ln2)²)/2

sauf erreur

Posté par
Stembare : Intégrales 02-06-08 à 16:11

Help quelqu'un pourrait m'expliquer la décomposition en éléments simples:
je sait le faire quand on est dans un cas ou y'a aucun soucis avec le dénominateur qui serai à 0 mais dans le cas contraire je ne vois absolument pas comment faire et j'ai personne dans mon entourage sachant le faire :/

Pour l'exemple: \int_0^{x}\frac {1}{(1+t^2)^2) dt
je sait qui a une autre façon de le faire sans utiliser cette méthode mais je veux comprendre comment faire avec cette méthode !
bon je refait et explique clairement mon problème.

P<Q donc:
(je prend comme variable at+b et ct+d car le degré du dénominateur est 4, je fonctionne comme sa est ce une erreur *degré 4 = 4 variable et vu que j'ai 2 divisions je doit mettre 2 variables à chaque numérateurs de la façon ax+b *?)

\frac {1}{(1+t^2)^2}=\frac{at+b}{(t^2+1)^2}+\frac{(ct+d)}{(t^2+1)}

(f(x)(t^2+1)^2)=(at+b)+(ct+d)(t^2+1)=1

si je prend x=0 j'ai b+d=1 sa m'avance pas :/
(f(t)(t^2+1))=\frac{at+b}{(t^2+1)}+(ct+d)=\frac{1}{t^2+1}

si quelqu'un peu m'accorder un peu de son temps pour m'expliquer clairement avec cette exemple comment fonctionne cette méthode je lui en serai fortement reconnaissant.

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 02-06-08 à 16:24

Bonjour

Ton exemple n'a pas de sens! la fraction est déjà décomposée!

Posté par
Stembare : Intégrales 02-06-08 à 17:39

j'arrive pas à voir l'évidence pour \int_1^{2}{1}{x(1+ln x)^3}
si j'avais (1+ln x)^2 à la place du cube, ce qui donnerai la forme \frac{u'}{u^2}
mais je ne suis pas dans ce cas, comment faite vous pour trouver sa?

Posté par
Stembare : Intégrales 02-06-08 à 17:41

\int_1^{2}\frac{1}{(1+lnx)^3} plutôt

Posté par
Stembare : Intégrales 02-06-08 à 22:18

J'ai du mal avec les changements de variable, si quelqu'un pouvais m'expliquer point par point sur cette exemple que j'ai tenter de faire:
\int_0^{1}\frac{t}{(2+t^2)^2)}
je pose u=2+t^2=>du=2tdt
\int_0^{1}\frac{t}{(2+t^2)^2)}=\int_2^{3}2t\frac{t}{(u)^2}
et je voie pas comment continuer

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 14:04

Je pense avoir trouver, dite moi si je me trompe.
\int_0^{1}\frac{tdt}{(2+t^2)^2}
je pose u=t²+2 du=2tdt sqrt t^2=sqrt{u-2}=t dt=\frac{du}{2sqrt{u-2}}
dt=\int_2^{3}\frac{sqrt{u-2}}{(u)^2}\frac{du}{2sqrt{u-2}}=\int_2^{3}\frac{1}{(u)^2}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int_2^{3}\frac{1}{u^2}
=\frac{1}{2}[-\frac{1}{u}]_2^{3}=\frac{1}{2}(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=\frac{1}{12}
est ce bon, la façon de procéder est t'elle bien?

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 14:07

Bonjour

Tu as un mélange de u et de t.

u=(2+t2) du=2tdt, donc tdt=du/2
u(0)=2, u(1)=3

\Bigint_0^1\frac{t\,dt}{(2+t^2)^2}=\Bigint_2^3 \frac{du}{2u^2}=\frac{-1}{2u}\]_2^3=-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 14:23

Merci Camélia.
I=\int_1^{2}\frac{1}{xlnx}dx
on me demande de faire le changement de variable je vois pas l'intérêt vu que:
I=\int_1^{2}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{lnx}{1}}dx donc on a la forme \frac {u'}{u}
qui est =ln u donc I=[ln u]_1^{2}=ln2
je me trompe?

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 14:26

En fait quand tu écris les choses sous cette forme, tu fais sans le dire le changement de variable! Tu viens d'écrire que c'est de la forme u'/u!

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 03-06-08 à 14:28

N'aurait-on pas plutôt I=[ln(ln(u))]_1^2 ?

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 03-06-08 à 14:29

J'ai rien dit ^^

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 03-06-08 à 14:30

Mais y'a un problème quand même pour le résultat ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 14:41

Tu as raison FF! je n'ai pas tout lu les bornes ont des ennuis...

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 15:30

Pour l'exo 2 donner avant je procède de la même manière
I=\int_1^{2}\frac{dx}{x(1+lnx)^3}=\int_1^{2}\frac{\frac{1}{x}dx}{(1+lnx)^3}
de la forme \frac {u'}{u^n}=-\frac{1}{n-1}*\frac{1}{u^{n-1}}
I=[\frac{1}{2(1+ln x)^2}]_1^{2}=-\frac{1}{2(ln2+1)^2}+\frac{1}{2}

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 15:32

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 15:34

Pourquoi y a t'il un problème avec le résultat fusionfroide?
je cherche mais je ne trouve pas d'erreur

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 15:44

Parce que u=ln(x), ln(u)=ln(ln(x))

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 16:07

je comprend pas, j'ai fait aucun changement de variable, j'ai simplement récrit la division d'une autre manière, j'ai pas poser u=ln x !

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 16:10

1/x(lnx) =(1/x)/ ln x, le faite que je récrit la division signifie que je fait un changement de variable?

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 16:11

Peu importe! La primitive est ln(ln(x)) et non ln(x)!

Posté par
fusionfroidere : Intégrales 03-06-08 à 16:11

Oui mais là tu as du u, et comme élément différentiel un dx ...

Tu as : \Bigint_1^2 \frac{1}{xln(x)}dx=\Bigint_1^2 \frac{\frac{1}{x}}{ln(x)}dx

C'est de la forme u'/u avec u=ln(x)

Donc une primitive est x->ln(ln(x))

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 16:13

Houla je vien de voir, je suis aveugle ...
merci camélia et fusionfroide, mais je change pas mes bornes?

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 16:17

ha non c'est bon j'ai comprit ^^

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales 03-06-08 à 16:19

Si tu restes sous cette forme, tu exprimes en fonction de x, donc tu ne changes pas de bornes, et tu as un malheur pour ln(ln(1)). Mais le malheur existait depuis l'énoncé, car avec ln(x) au dénominateur tu ne peux pas intégrer de 1 à quelque chose... A moins que tu saches traiter des intégrales généralisées?

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 16:29

je ne trouve pas d'intégrales généralisées dans mon cour, j'ai vu intégrale d'une fonction continue par morceaux, intégrale d'une fonction continue, intégration par parties, changement de variable, primitives de fonction rationnelles, fonction circulaires, fonction hyperboliques et intégrales abéliennes.

Mais ceci est un exercice d'examen donc je comprend pas.

Posté par
Stembare : Intégrales 03-06-08 à 16:31

je suis en 1er année de licence, je sait pas si on voie sa en 1er année.

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