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intégrales

Posté par Nathalie-Marie (invité) 06-08-05 à 11:46


    Bonjour à vous tous,
    Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice :
  intégrale de e^2x/(racine carrée de e^x +1) dx =

   (la racine carrée englobe toute la parenthèse).  

   Auriez-vous la bonté de me l'expliquer en détail,
            

            Merci d'avance.          
                  
                      Nathalie-Marie.                
  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 11:54

Nathalie-Marie,

C'est similaire (en un peu plus dur) au dernier exercice que vous avez posté !

Essayez de repérer un f'(x)/f(x)^p

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 11:54

Je fais référence à:
intégrales

Posté par aicko (invité)re : intégrales 06-08-05 à 12:18

I(x)=\int_0^{x}\frac{e^{2t}}{\sqrt{e^t+1}}dt

1ere etape integration par partie :

on pose u=e^t        u'= e^t
        v'=\frac{e^t}{\sqrt{e^t+1}} v=2\sqrt{e^t+1}
tu obtiens
I(x) = [e^t2\sqrt{e^t+1}]-\int_0^{x}2e^t\sqrt{e^t+1}dt

I(x)=2e^x\sqrt{e^x+1}-2\sqrt{2}-2[\frac{2}{3}(e^t+1)^{\frac{3}{2}}]
ainsi
I(x)=2e^x\sqrt{e^x+1}-2\sqrt{2}-\frac{4}{3}(e^x+1)^{\frac{3}{2}}+\frac{8}{3}\sqrt{2}

2ème étape : tu n'as pas précisé les bornes de ton integrale.ci-dessus on a une primitive de ta fonction il suffit de l'utiliser pour calculer ton integrale avec les bornes adequates et de simplifier l'expression en regroupant les termes de même nature

sauf erreur

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 12:19

En fait, je me suis peut-être trompé.
Je ne suis pas sûr que mon indice permette de résoudre.
Et avec le changement de variable u=e^x ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 12:22

Non, c'était bien cela.
Je me suis trompé... en disant que je m'étais trompé !

Posté par aicko (invité)re : intégrales 06-08-05 à 12:30

changement de variable : u=e^t  du=e^tdt

donc I(x)= \int_1^{e^x}\frac{u}{\sqrt{u+1}}du

et à ce stade il faut refaire une intégration par partie
ce sera plus long et plus compliqué....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 12:50

aicko, je peux me tromper, mais en dérivant ton résultat, je crois qu'on ne retombe pas sur nos pieds.

Je propose :
\frac{2}{3}.(1+e^x)^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{1+e^x}

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 12:59

Pour le plaisir, une résolution par les cosinus et sinus hyperboliques, pour ceux qui ont eu la chance de croiser ces êtres bizarres...

Rappel :
ch^2x-sh^2x=1
sh'=ch
ch'=sh

On veut calculer \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}} dx
On pose e^x = sh^2 u soit e^x dx=2 sh(u)ch(u)du
\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}} dx
= \int \frac{sh^2 u.2sh(u)ch(u)}{ch(u)} du
= 2\int sh^3 u du
= 2\int sh(u) (ch^2 u - 1) du
= \frac{2}{3} \int 3sh(u)ch^2 u du - 2\int sh(u) du
= \frac{2}{3}.ch^3u-2ch(u)
= \frac{2}{3} (1+sh^2 u)^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{1+sh^2 u}
= \frac{2}{3}(1+e^x)^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{1+e^x}

(Je n'ai pas justifié les changements de variables, ni la disparition de valeur absolue cachée au début du calcul. De plus, une erreur est évidemment possible !)

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 13:09

D'ailleurs, en dérivant la solution (que j'espère juste), on comprend (a posteriori !) l'astuce qui aurait pu nous permettre de résoudre facilement.

Sous l'intégrale, on a :
\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1} } = \frac{e^{2x}+e^x-e^x}{\sqrt{e^x+1} } = \frac{e^x(e^x+1)}{\sqrt{e^x+1} } - \frac{e^x}{\sqrt{e^x+1} } = e^x\sqrt{e^x+1} -\frac{e^x}{\sqrt{e^x+1} }
qui s'intègre immédiatement

Posté par aicko (invité)re : intégrales 06-08-05 à 13:30

belle decomposition Nicolas_75

remarque : ch 0 = 1

donc -2\int_0^{u}shxdx =-2chu+2
.....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 13:33

Nathalie-Marie n'a pas donné de bornes.
J'ai donc fait un calcul de primitive, à une constante près.
\int est à comprendre comme "une primitive de ... à une constante près"

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : intégrales 06-08-05 à 20:33

\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}\ dx

Poser e^x+1 = t^2
e^x = t^2-1
e^x\ dx = 2t\ dt

\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}\ dx  = 2\int (t^2-1)\ dt = \frac{2}{3}t^3 - 2t + C = \frac{2}{3}(\sqrt{1+e^x})^3 - 2\sqrt{1+e^x} + C
-----
Sauf distraction.  


Posté par aicko (invité)re : intégrales 06-08-05 à 21:01


si je peux me permettre lors de vos changements de variable, les bornes changent :

>Nicolas_75 :
x=ln(sh^2 u) une etude en 0.....

>J-P (Correcteur)
e^x =t^2-1 il y a un probleme de bijection....
même remarque pour les bornes

(malgre que les primitives sont definies a une constante pres.....)





Posté par aicko (invité)re : intégrales 06-08-05 à 21:16

apres derivation les trois primitives données semblent correctes...

Posté par Nathalie-Marie (invité)intégrales 06-08-05 à 21:34

Merci de me répondre.
La réponse que le professeur nous a donnée est différente.
la voici :
  2 * (racine carrée e^x+1) (1/3 e^x -2/3)+k.


            A bientôt!

                              Nathalie-Marie.


*** message déplacé ***

Posté par biondo (invité)re : intégrales 06-08-05 à 22:24

Bonsoir,

Autant que je puisse voir, il s'agit de la reponse donnee par JP dans le topic precedent, a une factorisation pres (racine de (e^x + 1)).

A+
Biondo

*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 07-08-05 à 03:11

Nathalie-Marie,

Pour vérifier qu'il s'agit de la même solution, deux méthodes :
(1) tu dérives les deux, et tu trouves la même chose (= ce qui était sous l'intégrale au départ) => les 2 expressions sont égales à une constante près ;
(2) tu transformes l'une en l'autre.

Pour (2), n'oublie pas que les formules mathématiques "compliquées" peuvent s'exprimer de plusieurs façons, mais ce sont les mêmes.
Par exemple :
\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}
(\sqrt{a})^3-\sqrt{a} = \sqrt{a} (a-1)

Dans notre cas, à une constante près :

solution proposée par Nicolas et JP
= \frac{2}{3} (1+e^x)^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{1+e^x}
= \frac{2}{3} (\sqrt{1+e^x})^3-2\sqrt{1+e^x}
=2\sqrt{1+e^x} (\frac{1+e^x}{3}-1)
=2\sqrt{1+e^x} (\frac{e^x}{3}-\frac{2}{3})
= solution de ton professeur

Nicolas





*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 07-08-05 à 08:31

aicko,

J'avais bien précisé en bas de mon message du 6 août 12h59 que rien n'était justifié. C'était juste un jeu formel.

Néanmoins, on peut le faire rigoureusement. C'est l'objet du présent message.

D'abord, rappelons le théorème de changement de variable, qui, dans la formulation que je connais, ne demande pas une bijection :
Soit \phi C^1 sur [a,b]
Soit f continue sur \phi([a,b])
Alors :
\Bigint_a^b fo\phi(u).\phi'(u) du = \Bigint_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t) dt
Cf. ou

Dans notre cas, on cherche I(x) = \Bigint_a^x \frac{e^{2t}}{\sqrt{e^t+1}}dt
Soit \phi : ]0,+\infty[ \to ]-\infty;+\infty[
u |\to ln(sh^2u)

\phi'(u)=\frac{2ch(u)sh(u)}{sh^2u}=2\frac{ch(u)}{sh(u)}

On a donc :
\Bigint_0^x f(t) dt = \Bigint_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} \frac{e^{2lnsh^2u}}{\sqrt{e^{ln sh^2u}+1}}.\frac{2ch(u)}{sh(u)}du +cste
= \Bigint_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} \frac{sh^4u}{|ch(u)|}.\frac{2ch(u)}{sh(u)}du +cste
= 2\Bigint_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} sh^3u du +cste
=2\Bigint_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} sh(u)(ch^2u-1) du +cste
=\frac{2}{3}\Bigint_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} 3sh(u)ch^2udu - 2\Bigint_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} sh(u)du +cste
=[\frac{2}{3}ch^3u-2ch(u)]_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} +cste
=[\frac{2}{3}(1+sh^2u)^{3/2}-2\sqrt{1+sh^2u}]_{cste}^{argsh \sqrt{e^x}} +cste
=\frac{2}{3}(1+e^x)^{3/2} - 2\sqrt{1+e^x} +cste

Voici donc une 4ème méthode pour trouver la primitive.
Nathalie-Marie, te voilà comblée !
Néanmoins, dans un cadre scolaire, il ne faut bien sûr pas utiliser celle-ci (avec cosinus et sinus hyperboliques), mais l'une des trois autres :

- la plus rapide est probablement celle que j'ai proposée le 06/08/2005 à 13:09 : pas de changement de variable ou d'intégration par parties ; mais elle repose sur une astuce que, personnellement, je n'ai vue qu'après avoir résolu par une autre méthode ;

- intégration par parties : aicko le 06/08/2005 à 12:18

- changement de variable : J-P le 06/08/2005 à 20:33

Nicolas

Posté par Nathalie-Marie (invité)remerciements 07-08-05 à 10:44

Merci à vous pour toutes vos explications et les références qui sont précieuses!!Je suis très heureuse
de les découvrir.
                Nathalie-Marie:)

                

*** message déplacé ***


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