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Intégrales d'une fonction a valeurs complexe

Posté par
ElMustang 26-12-19 à 12:39

Bonjour, tout le monde.
Je fais appel à votre aide car je suis un peu bloqué dans des questions de mon DM notamment la question 2B et 3, que voici.

1.Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I à valeur dans Crappeler la définition de la dérivabilité sur I est du calcul de la dérivée de la fonction f.

J'ai écrit que : Une fonction f définie sur I est dérivable si la fonction est dérivable en tout point de I. La fonction est dérivable sur cette intervalle si la limite de son taux d'accroissement et une constante et une fonction f de R dans C et dérivable si c'est partie réel et imaginaire sont dérivable sur I

2. Soit (,)(*+)^2.
Soit f et , les fonction définie surpar:
f(t)=e(^\alpha t) \cos wt
(t)=\exp( ^\alpha +^i^w)^t

Remarquons que f est à valeur réelle alors que phi est a valeur complexe.

a)justifier qu'une primitive de la fonction f est la partie réelle d'une primitive de la fonction phi.
Ou on peut poser =1+ i2
étant une primitive de phoque R et 1 et 2 deux fonction de I dans R.


Là j'ai écrit :
Une primitive de phi(t) était
\frac{1}{\alpha +iw} *\exp ^\alpha +^i^w

En passant e^iw sous forme Trigo et en multipliant par la quantité conjugué sur 1/(+iw) on à

(t)=\frac{\alpha -iw}{\alpha^2+w^2 }*(cos(wt)+ sin(wt))
En développant :
(t)=\frac{1}{\alpha^2+w^2 }*(\alpha cos(wt) +wsin(wt)+i(\alpha sin(wt)-wcos(wt))*\exp ^\alpha ^t


En identifiant les parties réelle et imaginaire on ne prend que la partie réelle de la primitive puis on va la dérivé

1(t)=\frac{1}{\alpha ^2+w^2}*\alpha cos(wt)+wsin(wt)*e^\alpha ^t

Et quand l'on dérivé on retrouve bien f(t)

2. En déduire l'ensemble des primitives en fonction de alpha et w

Vu que Ré((t))=F(t)
On a 1 qui est l'ensemble des primitives de f c'est a dire :
1(t)=\frac{1}{\alpha ^2+w^2}*\alpha cos(wt)+wsin(wt)*e^\alpha ^t + C

Enfin 3. Soit f une fonction définie sur [a;b]continue sur [a;b] à valeur dans C Démontrer que
\int_{a}^{b}{Re(f(x))dx}=Re(\int_{a}^{b}{(f(x))dx})

Et que:
\int_{a}^{b}{Im(f(x))dx}=Im(\int_{a}^{b}{(f(x))dx})

Auquel j'ai répondu
Puisque l'on a une fonction f telle que f(x)=f1(x)+if2(x)

On peut écrire par linéarité de l'intégrale
\int_{a}^{b}{(f(x))dx}=\int_{a}^{b}{(f1(x))}dx +i\int_{a}^{b}{(f2(x))}dx

De plus Ré(f(x))= f1(x) donc

\int_{a}^{b}{Re(f(x))dx}= \int_{a}^{b}{f1(x)dx}=Re(\int_{a}^{b}{(f(x))dx})

De plus Im(f(x))=f2(x)

\int_{a}^{b}{Im(f(x))dx}= \int_{a}^{b}{f2(x)dx}=Im(\int_{a}^{b}{(f(x))dx})

Voilà!!

J'espère que vous pourrez m'aider.

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 26-12-19 à 17:48

Up

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 27-12-19 à 08:11

Up

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 27-12-19 à 11:17

Un peu d'aide ???

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 29-12-19 à 10:13

???

Posté par
lionel52re : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 29-12-19 à 11:10

Hello je te conseille de réecrire ton long énoncé sans faire de fautes en LATEX parce que là c'est assez illisible... et ça donne pas trop envie

Utilise la fonctionnalité Aperçu avant de poster !


Tips latex :
e^{ce que tu veux}
\Omega_1

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 29-12-19 à 12:35

Je l'avais déjà utilisé justement, mais d'accord je vais un peu plus le soigné merci

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 29-12-19 à 12:39

Mais je crée un nouveau post où je le réécrit dans celui là parce que je peux pas modifier mon énoncé ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 29-12-19 à 12:45

non pas un nouveau topic, tu écris dans celui là.

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 08:46

Ok alors

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 09:43

Voici mes problémes.

f(t)=e^{\alpha t}cos(\omega t) et \phi (t)=e^{(\alpha + i\omega) t}

Question 2) Justifier qu'une primitive de la fonction f est la partie réelle d'une primitive de la fonction \phi ou on pourra poser \Phi de I danc   qui est une primitive de \phi de la forme \Phi=\Phi1+i\Phi2.

Jusque ici pas de problémes j'ai juste primitivé \phi (t) ça ma donné \Phi (t)= \frac{\alpha - i\omega }{\alpha^2 + i\omega^2}* e^{(\alpha + i\omega) t} en utilisant en plus la quantité conjugué.

En passant sous forme trigo et en devellopant j'obtient: \frac{1}{\alpha^2 + i\omega^2}* (\alpha cos(\omega t) + \omega sin(\omega t) + i(... ) )e^{\alpha t}

De la on utilise la définition la fonction \Phi ou l'on prend \Phi1 la partie réelle de la primitive est puis on dérive et on retoruve bien f(t)

2°)En deduire l'ensemble des primitives de f sur en fonction de \alpha et \omega.

Ici je ne suis pas trés sur mais j'ai mis que vu qu'une primitive de f(t) sera la partie réelle de la primitive de \phi(t) alors on en déduit que : F(t)= \Phi1(t) c'est-à dire : F(t)= \frac{1}{\alpha^2 + i\omega^2}* (\alpha cos(\omega t) + \omega sin(\omega t))e^{\alpha t} + C

3°) Prouver que pour f définie sur [a,b] continue  a valuer dans .
\int_{a}^{b}{Re(f(x))dx}= Re(\int_{a}^{b}{f(x)dx}) et de mem pour les imaginaire. En gros prouver que l'intégrale de la partie réelle/Imaginaire de f(x) est égal à la partie Réelle/Imaginaire de l'intégrale de f(x).

La encore je ne suis pas sur mais j'ai mis que si on sait que f(x)=f1(x)+if2(x) car f(x) est une fonction a valeur complexes.

Quand on fait l'intégrale de f par linéarite on obtient: \int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f1(x)dx}+i\int_{a}^{b}{f2(x)dx}
Vu que f1=Re(f(x)) on a \int_{a}^{b}{Re(f(x))dx}=\int_{a}^{b}{f1(x)dx}=Re(\int_{a}^{b}{f(x)dx})
Et on appliquerai la meme logique avec la partie imaginaire .
Voila

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 09:44

Voici mes problémes.

f(t)=e^{\alpha t}cos(\omega t) et \phi (t)=e^{(\alpha + i\omega) t}

Question 2) Justifier qu'une primitive de la fonction f est la partie réelle d'une primitive de la fonction \phi ou on pourra poser \Phi de I danc   qui est une primitive de \phi de la forme \Phi=\Phi1+i\Phi2.

Jusque ici pas de problémes j'ai juste primitivé \phi (t) ça ma donné \Phi (t)= \frac{\alpha - i\omega }{\alpha^2 + i\omega^2}* e^{(\alpha + i\omega) t} en utilisant en plus la quantité conjugué.

En passant sous forme trigo et en devellopant j'obtient: \frac{1}{\alpha^2 + i\omega^2}* (\alpha cos(\omega t) + \omega sin(\omega t) + i(... ) )e^{\alpha t}

De la on utilise la définition la fonction \Phi ou l'on prend \Phi1 la partie réelle de la primitive est puis on dérive et on retoruve bien f(t)

2°)En deduire l'ensemble des primitives de f sur en fonction de \alpha et \omega.

Ici je ne suis pas trés sur mais j'ai mis que vu qu'une primitive de f(t) sera la partie réelle de la primitive de \phi(t) alors on en déduit que : F(t)= \Phi1(t) c'est-à dire : F(t)= \frac{1}{\alpha^2 + i\omega^2}* (\alpha cos(\omega t) + \omega sin(\omega t))e^{\alpha t} + C

3°) Prouver que pour f définie sur [a,b] continue  a valuer dans .
\int_{a}^{b}{Re(f(x))dx}= Re(\int_{a}^{b}{f(x)dx}) et de mem pour les imaginaire. En gros prouver que l'intégrale de la partie réelle/Imaginaire de f(x) est égal à la partie Réelle/Imaginaire de l'intégrale de f(x).

La encore je ne suis pas sur mais j'ai mis que si on sait que f(x)=f1(x)+if2(x) car f(x) est une fonction a valeur complexes.

Quand on fait l'intégrale de f par linéarite on obtient: \int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f1(x)dx}+i\int_{a}^{b}{f2(x)dx}
Vu que f1=Re(f(x)) on a \int_{a}^{b}{Re(f(x))dx}=\int_{a}^{b}{f1(x)dx}=Re(\int_{a}^{b}{f(x)dx})
Et on appliquerai la meme logique avec la partie imaginaire .
Voila

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 09:46

J'ai postée deux fois la même chose désolée pour ça

Posté par
larrechre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 09:55

Bonjour,

Peut-être une simple faute de frappe, mais en 1/ après multiplication pat la quantité conjuguée, au dénominateur, c'est a^2+\omega^2 (pas de facteur i)

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 10:30

Effectivement, j'ai oublié ça c'est bien ça merci

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 14:43

Up

Posté par
larrechre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 15:42

Une autre erreur, en 2/ ,les primitives sont les fonctions F définies par F(t)=\Phi(t)+C
(et non  \Phi_1)

Pour la 3/, oui, il faut invoquer la linéarité de l'intégrale.

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 18:37

D'abord merci pour ta réponse larrech.

Pour la 2°) si F(t)=\Phi (t) + C cela entre en contradiction avec la question précédente qui dit qu'une primitive de f serait la partie réelle de la primitive de \phi (t) soit \Phi1 (t).
Puisque: \Phi (t) = \frac {1}{\alpha^2+\omega^2}* \alpha cos(\omega t ) +\omega sin(\omega t )+ i(\alpha sin(\omega t)-\omega cos(\omega t)) + C

Posté par
larrechre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 19:16

Oui, j'ai mal lu les notations de l'énoncé. Si l'on reprend

f(t)=e^{\alpha t}cos(\omega t) et \phi (t)=e^{(\alpha + i\omega) t}, donc f(t)=\Re(\phi(t))


\Phi (t)= \dfrac{\alpha - i\omega }{\alpha^2 + \omega^2}* e^{(\alpha + i\omega) t}=\Phi_1(t)+i\Phi_2(t) en séparant partie réelle et partie imaginaire.

Alors les primitives de f (qui est la partie réelle de \phi) sont les fonctions de la forme \Phi_1+C

Dont acte

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 19:24

Oui c'est bien ça normalement 😁, désolé pour l'écriture assez hasardeuse de l'énoncé merci de ton aide une fois encore.

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 19:25

Sinon une autre question c'est bien le modérateur qui peut mettre des post en résolu?

Posté par
larrechre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 30-12-19 à 21:05

Le modérateur, oui, mais n'importe quel intervenant autre que le demandeur aussi. Le sujet passe en "bleu", ce qui indique qu'en principe il est clos.

Mais si le demandeur répond, il repasse en jaune et on est reparti pour un tour.

Posté par
ElMustangre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 31-12-19 à 08:45

Ok merci beaucoup alors.

Posté par
larrechre : Intégrales d'une fonction a valeurs complexe 31-12-19 à 08:59


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