Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

intégrales et séries de fonctions

Posté par
fanfandu63 02-11-07 à 15:12

     Bonjour !

   J'ai un problème dans mon DM de Maths:

Il faut que je montre cette égalité :

f: x-> \Bigsum_{n=0}^{+\infty } In.x^n = \Bigint_{0}^{1} \frac{1+t^2}{1-x+t^2} dt

sachant que In = \Bigint_{0}^{1} \frac{dt}{(1+t^2)^n}

Mais je ne sais pas comment partir...
Dans une question précédente on m'a fait trouver l'équivalent de In quand n->+\infty
        
J'ai trouvé \frac{\sqrt{\pi.n}}{2.n-1} . Dois je me servir de ce résultat? Ou sinon comment faire ?

Merci

Posté par
Cauchyre : intégrales et séries de fonctions 02-11-07 à 15:23

Bonjour,

une interversion série intégrale est surement la bienvenue.

Posté par
fanfandu63re : intégrales et séries de fonctions 02-11-07 à 15:25

c'est à dire ?
Est ce que tu pourrais m'en dire un peu plus ?

Sinon je viens de penser à utiliser le théorème de dérivation terme à terme...

Posté par
Cauchyre : intégrales et séries de fonctions 02-11-07 à 15:29

Si tu intervertis la somme et l'intégrale tu te retrouves avec :

3$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{x}{1+t^2})^{n} dt

Et tu connais la série à l'intérieur de l'intégrale c'est une série géométrique, tu verras que tu retrouves bien le résultat voulu.

Tu considères x dans quel intervalle?

Reste à justifier cette interversion par un théorème du cours.

Posté par
fanfandu63re : intégrales et séries de fonctions 02-11-07 à 15:34

D'accord j'ai compris !

On m'a demandé de trouver le domaine de définition
J'ai trouvé x dans ]-1;1[ car In.x^n converge simplement si |x|<1


         Merci beaucoup

Posté par
Cauchyre : intégrales et séries de fonctions 02-11-07 à 15:37

Ok donc ton égalité ne va être vrai que pour x dans ]-1,1[.

Il faut faire attention quand tu utilises la série géométrique à t fixé dans [0,1] à dire que |x/(1+t²)|<=|x|<1 pour que ça ait un sens.

Posté par
fanfandu63re : intégrales et séries de fonctions 02-11-07 à 15:39

Ah oui ! je n'avais pas pensé à ça non plus...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !