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Niveau Licence Maths 1e ann
intégrales residus
Posté par Sand76
rebonjour,
est-ce que quelqu'un sait comment calculer l'intégrale suivante (de -
à +)
(1+(sin x)^3)/ (x² + 2x + 3)² dx
sachant que j'ai déjà calculé dx/ (x² + 2x + 3)
merci
Bonjour,
Voici comment je procèderais :
- tout d'abord, si tu connais déjà dx/ (x² + 2x + 3), passons à l'autre membre, c'est à dire
- linéarise sin^3(x) et découpe A en somme de deux intégrales ou le numérateur est simplement une fonction en sinus : ou A1 et A2 sont les deux intégrales.
Que valent A1 et A2 ?
- As-tu des résultats que lient le théoreme des résidus et les intégrales dont les bornes sont l'infinie ?
oui j'ai les résultats avec le sinus linéarisé et les bornes infinies
mais, comment on linéarise le sinus? ou le cosinus?
j'avoue avoir un petit trou...
Avec les formules d'Euler et le binome de Newton !
tu développes avec le binome et puis tu regroupes pour faire apparaitre des sin(...x)
Bon si jamais il n'y a que ca qui te bloque, on a mais je t'invite fortement à refaire le calcul !
Je reviens compléter un peu ce dont je parlais.
Une fois que tu as linéarisé le sinus (si tu ne vois toujours pas comment faire, dis le), calculer revient à calculer des intégrales ( 2 pour être précis avec a=1 puis a=3) du type :
.
Histoire de ne pas refaire 2 fois le même calcul, je te propose de calculer pour tout a>0 :
Pour se faire, remarque que sin(t)=Im[exp(it)] et donc que .
Ainsi, il nous suffit de trouver la valeur de l'intégrale suivante : pour conclure quant à la valeur de
.
Procédons par étape :
¤ Calcul avec le théoreme des résidus et pour r assez grand où Cr le lacet comme sur le dessin ci dessous, et
.
¤ Remarque/montre que cette intégrale tend vers quand r tend vers l'infinie : il suffit de paramétrer le lacet Cr et majorer un peu pour y arriver.
Une fois fait, tu obtiens la valeur de puis celle de
tombe aussitot. Finalement comme tu connais la valeur de
pour tout a>0, tu auras nécessairement celle de A puisque A est combinaison linéaire de
et
.
Sauf erreur.
Bien sur si tu as des propositions/théoremes de ce type dans le cours, inutile de tout remontrer, c'était juste au cas ou tu ne les aies pas justement.
En espérant avoir été assez clair 
