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Niveau maths sup
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Intégration

Posté par
Gabrielv
04-12-21 à 09:15

Bonjour ! Je cherche à intégrer : I= \int \frac{cosx}{sin²x-cos²x} dx, j'ai d'abord fait le changement de variable t=cos(2x), ce qui m'a donné I= \frac{1}{4} \int \frac{1}{t \sqrt{\frac{1}{2}(1-t)}}, après avoir décomposé en éléments simples, j'obtiens I=\sqrt{2}ln(|t|)-2 \sqrt{\frac{1}{2}(1-t)}+cste, cependant en vérifiant sur Wolfram alpha, mon résultat semble faux, est-ce que vous pourriez m'aider ? Merci d'avance !

Posté par
luzak
re : Intégration 04-12-21 à 09:30

Je ne vois pas comment ton changement de variables donne la deuxième intégrale. Peux-tu mettre les détails de tes calculs ?

En principe, les règles de Bioche conduisent à utiliser u=\sin(x) puisque l'intégrande (y compris le \mathrm{d}x)  change de signe  avec x.

Autre chose : tu devrais commencer par indiquer le(s) intervalle(s) où tu veux faire les calculs.

Posté par
Rintaro
re : Intégration 04-12-21 à 09:38

Bonjour,

je ne comprends pas ton changement de variable. Puisqu'on a du cos(x)dx, il serait plus simple de prendre u = sin(x) etc...

Bonne journée

Posté par
Rintaro
re : Intégration 04-12-21 à 09:38

A luzak : désolé, ma connexion mouline, j'ai pourtant regardé s'il y avait eu des réponses. Mon intervention est inutile.

Bonne journée à vous deux.

Posté par
Gabrielv
re : Intégration 04-12-21 à 09:55

Merci de vos réponses, ah oui en effet j'aurais plutôt dû prendre t=sinx,

Citation :
Autre chose : tu devrais commencer par indiquer le(s) intervalle(s) où tu veux faire les calculs.

C'est-à-dire préciser au début que x est réel ?

Posons t=cos2x, \frac{dt}{dx}=-2sin(2x) donc dx= - \frac{1}{4sinxcosx}dt, donc I=\frac{1}{4} \int \frac{1}{sinx(cos²x-sin²x)}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{tsinx }, sinx= \sqrt{\frac{1}{2}(1-t)} donc I= \frac{1}{4} \int \frac{1}{t \sqrt{\frac{1}{2}(1-t)} }



Voilà comment j'ai fait mon changement de variable, est-il faux ?

Posté par
Chamfort
re : Intégration 04-12-21 à 10:11

Bonjour;

I = \int {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}} dx\\
 \\ \\
 \\ {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\
 \\ u = \sin x\\
 \\ I = \int {\frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x - 1}}} dx = \int {\frac{1}{{2{u^2} - 1}}} du

Posté par
etniopal
re : Intégration 04-12-21 à 20:21

f(x) := cos(x)/(cos²(x) - sin²(x) n'a de sens que si cos(2x) est non nul donc si x n'est pas dans  { (2k + 1)/2 │ k }.
Le complémentaire de cet ensemble est la réunion des intervalles ouverts translatés de   de  J := ] /2 , 3/2[ de  k  ( k ).

   On cherche donc une primitive  de f sur  J := ]/2 , 3/2[ .
Par exemple  F : x  \int_{ \pi }^{x}{f(t)dt}  .

Posté par
Gabrielv
re : Intégration 04-12-21 à 20:27

Ah oui d'accord, merci !
En effet, c'était plus facile en posant t=sinx !

Posté par
Chamfort
re : Intégration 05-12-21 à 05:37

bonjour;


si on écrit I fct de \cos(2x) et  \cos(2x)=u on obtient



\[-2\,\int \frac{\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) \,\mathrm{sin}\left( 2\,t\right) }{\sqrt{1-\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) }\,\sqrt{\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) +1}\,\left( 2\,{\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) }^{2}-1\right) }dt\]=\[2\,\int \frac{u}{\sqrt{1-u}\,\sqrt{u+1}\,\left( 4\,{u}^{2}-2\right) }du\]



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