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Niveau école ingénieur
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Integration Complexe

Posté par
jojoxxp4
16-12-15 à 20:53

Bonsoir,

Comment est-ce que je peux intégrer de la façon la plus rapide et efficace possible (définition de l'intégrale complexe,  résidus...) l'intégrale suivante :

\int_{C(0,3)}^{ } (|z|^2 - 2z + \frac{1}{z})^3  dz


Merci d'avance.

Posté par
LeHibou
re : Integration Complexe 16-12-15 à 23:07

Bonsoir,

Avant d'utiliser la théorie des résidus, il faut valider que l'intégrande est bien analytique, et avec le terme |z|3 j'ai comme un doute...

Posté par
jokass
re : Integration Complexe 16-12-15 à 23:16

Salut,

Si c'est bien sur le cercle et non sur le disque ça sent plutôt le théorème de Cauchy sur le bord du domaine. Il suffirait alors de démontrer que ta fonction à l'intérieur est holomorphe. (mais j'avous que je doute...)

Posté par
etniopal
re : Integration Complexe 17-12-15 à 09:00

Quelle est la définition de \int_{C(0,3)}^{ } f(z) dz  , pour une f qui n'est pas analytique ?

Posté par
frenicle
re : Integration Complexe 17-12-15 à 10:44

Bonjour,

Pour tout z\in C(0,3) , on a |z|^2=9.
L'intégrale cherchée est donc égale à celle de la fonction f(z)=(9-2z+\dfrac{1}{z})^3...

Posté par
etniopal
re : Integration Complexe 17-12-15 à 15:26

frenicle  
L'intégrale cherchée .... ,
Mais quelle intégrale  ?

Posté par
jojoxxp4
re : Integration Complexe 17-12-15 à 16:17

Pour une fonction f qui n'est pas analytique on utilise  \int_{C(0,3)}^{}f(z)dz = \int_{0}^{2 \pi}f(h(t))*h'(t)dt avec h(t) = 3eit  mais ça se complique si je passe par tout ce calcul...

Ahh Mais si comme le dit frenicle, est-ce que j'applique le théorème des résidus pour avoir

 \int_{C(0,3)}^{}f(z)dz = 2 \pi i Res(\frac{(-2z^2+9z+1)^3}{z^3}, 0)     ?

(sachant que \frac{(-2z^2+9z+1)^3}{z^3} est holomorphe sur l'intérieur de C(0,3) sauf en 0)

Posté par
frenicle
re : Integration Complexe 17-12-15 à 22:37

etniopal

La fonction f n'a pas à être analytique. Il suffit qu'elle soit continue : .

jojoxxp4

Oui, c'est ce que je suggère. Sauf erreur, on trouve 474i\pi

Posté par
etniopal
re : Integration Complexe 17-12-15 à 23:31

On ne définit que \int_\gamma f(z)\,dz si γ est un arc rectifiable

Posté par
etniopal
re : Integration Complexe 17-12-15 à 23:36

C(0,3) n'est pas un arc rectifiable mais le  " support " d'une foultitude d'arcs rectifiables

t   3exp(it) de [0 , 28] vers en est un .

Posté par
jojoxxp4
re : Integration Complexe 19-12-15 à 12:03

Oui c'est bien 474i !

Merci!

Posté par
frenicle
re : Integration Complexe 19-12-15 à 17:07

Avec plaisir



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