Bonjour

Le théorème que tu cites n'est valable que sur un segment [a,b] à extrémités finies, au niveau prépa. Pas sur [0,+inf[. Cependant, tu peux intégrer sur des gros intervalles et faire tendre une borne vers l'infini, à condition de justifier pourquoi c'est vrai.
Par ailleurs, je suis curieux de voir comment tu justifies la réponse au 1)
Et aussi comment tu passes de la série de terme général (-1)^n / (n+1)² à celle de terme général 1/(n+1)²

Bonjour,

pour la question 1, voilà comment je fais :
Je traite le cas x=0 avant.
Ensuite je considère le cas x>0 :
.

On reconnaît une série géométrique de raison .

On peut alors utiliser l'égalité et obtenir l'égalité.

Ok pour la 1), c'est bien d'avoir pensé à traiter le cas x=0 !

Pour la série alternée, c'est l'idée, mais il faut que tu précises la valeur des deux séries dont tu te sers (l'une vaut pi²/12 l'autre pi²/24, expliquer pourquoi).

A ton niveau (prépa), il n'y a pas vraiment de théorème simple à comprendre et qui soit au programme sur des intervalles non bornés, à ma connaissance.


Pour la convergence uniforme, ce que tu as écrit signifie tout simplement que tend vers 0.
Ecris explicitement la valeur de en utilisant la valeur de la nième somme partielle d'une suite géométrique de raison ...
Un peu comme tu as fait à la question 1, mais avec un indice fini. Tu calcules la norme-infini et tu montres à la main qu'elle tend vers 0

coquille 1 dans mon message précédent :

coquille 2 dans mon message précédent :

Tu peux le voir comme ça oui, mais même sans majoration, le but est tou simplement de montrer que le sup (en x) des tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Sauf si tu connais la formule par coeur, je te recommande de calculer d'abord , puis de lui soustraire , pour éviter les erreurs d'indice (pour les restes, on commence à l'indice N+1 !)



Pour la série alternée, la bonne justification est la suivante :






Pour le théorème niveau bac+3, tu le connais depuis longtemps :
Tu apprendras sans doute un peu plus tard dans tes études que finalement, les sommes sont des intégrales particulières. C'est pour ça qu'on peut y faire des changements de variables, des interversions, des relations de Chasles, etc. Et bien-sûr tu le sais déjà, mais les intégrales elles-mêmes sont construites à partir de sommes finies et passages à la limite (les subdivisions, etc)

Je ne m'en sors pas.
J'essaye d'obtenir une majoration, mais je n'y arrive pas à rendre le majorant indépendant de x :



Et là je bloque pour obtenir une majoration convaincante : indépendante de x et tendant vers 0 en l'infini.

Suis-je suir la bonne voie ?

Je t'avais prévenu, tu n'as pas suivi mon conseil, qui était de d'abord calculer Sn...
Et au passage, il te manque un exp(-x) dans la définition de f que tu donnes en énoncé.



Donc
C'est une fonction très gentille, tu la dérives, tu trouves son maximum et tu prouves qu'il tend vers zéro. Ce qui établit la convergence uniforme sur R+ (et aussi sur [0,b] pour tout b>0)

Je n'y arrive pas !
Je pense que je m'y prends mal, parce que je trouve pas ça fameux comme calcul !

Première tentative :
Je pose .
Et je dérive "classiquement" pour obtenir .

Deuxième tentative :
Je remarque que puis je dérive et j'obtiens :


où .

Cela me semble hautement indigeste !

Moi je trouve


Essaie déjà de trouver ça. Ensuite tu appelles son zéro, tu écris en fonction de , tu remplaces dans l'expression de et tu montres que le truc que tu obtiens est une suite qui tend vers 0

Bonjour,

je trouve :


Décidément

Dans les grandes lignes :
en multipliant numérateur et dénominateur par .

Je pose ensuite :
et

De sorte que :
et

Et que :


Suis-je dans l'erreur ?

Je prendrais plutôt u(x) = 2x.exp(-(n+1)x) et v(x) = exp(x)+1 pour éviter les erreurs de dénominateurs

Ca fait u'(x) = 2exp(-(n+1)x).(1-(n+1)x) et v'(x) = exp(x)

donc v²(x) * (u/v)'(x) = 2(1-(n+1)x).exp(-(n+1)x) (exp(x)+1) - 2x.exp(-(n+1)x)exp(x) = 2*exp(-(n+1)x)* [(1-(n+1)x)(exp(x)+1)-x.exp(x)] = 2.exp(-(n+1)x) * (1-(n+1)x + exp(x).(1-(n+1)x-x)) = 2.exp(-(n+1)x) * [1 - (n+1)x + exp(x).(1-(n+2)x) ]

Ce qui est le résultat que j'ai annoncé
Et wolfram alpha est d'accord avec moi ()

Ton erreur vient du fait que tu as calculé la dérivée d'un rapport et non d'une multiplication. Si tu voulais faire comme ça il fallait prendre v(x) = exp(+(n+1)x). Mais c'eut été encore mieux avec (uv)' = u'v + uv'

Bonjour,
c'est bon, j'y suis !

Je trouve effectivement : .

Ensuite, j'écris .

Sommes-nous d'accord ?

Ulmiere @ 28-12-2019 à 12:21

Ensuite tu appelles son zéro, tu écris en fonction de , tu remplaces dans l'expression de et tu montres que le truc que tu obtiens est une suite qui tend vers 0

est positif, donc et sont de même signe
Puisque est positif, est positif et donc aussi.

Ce qui donne

Et donc ...

Il reste quand même à montrer que la dérivée s'annule bel et bien. Ca c'est la continuité et la fait que prend une valeur strictement positive en 0 et strictement négative en -1/(n+2)

1/2^n plutôt

Merci.
Il y a encore une étape de votre raisonnement que je ne saisi pas :

Ulmiere @ 30-12-2019 à 13:21


Puisque est positif, est positif et donc aussi.

Imagine que soit positif et que soit négatif (forcément strictement, on a une exponentielle).
Cela revient à dire que .
Puisque est de même signe, il est aussi (strictement) négatif.
Cela revient à dire que et donc puisque . Contradiction.

Note que ça montre que le maximum de est atteint pour un qui tend vers 0, pas que tend effectivement vers 0.
Pour le prouver, il va falloir calculer et faire tendre n vers l'infini.

Mais ça c'est facile car la partie en tend trivialement vers 0 et la partie en tend vers grâce à l'inégalité qui implique

C'est beaucoup plus fort que ça



C'est-à-dire que CV uniformément sur [0,b] vers S.
Reste à appliquer le théorème d'intégration terme à terme, et à montrer rigoureusement qu'on peut faire tendre b vers l'infini...

Je vois.
J'ai juste une petite hésitation car je ne vois plus le "x_n".
J'ai comme l'impression qu'on a une implication de type :


Sans voir pourquoi.

Bonjour !
Il me semble que pour la convergence uniforme vers 0 du reste on peut faire plus simple !

On a une série alternée vérifiant la condition suffisante habituelle.
La suite des valeurs absolues est décroissante (pour tout réel donné ) donc le reste est majoré, en valeur absolue, par le premier terme du reste  (cette remarque évite le calcul explicite du reste) soit :
.
Or est maximale en et .

On a donc convergence uniforme sur et on peut appliquer le théorème d'intégration terme à terme sur cet intervalle (oui, intervalle non borné : il suffit d'établir la convergence de la série ).

Oui bien sûr, je voulais simplement qu'il voie de ses yeux d'où ça sort, toutes ces convergences, et aussi lui montrer l'astuce d'utiliser la positivité de l'exponentielle pour trouver un équivalent de
La convergence sur tout compact est donnée directement par mon message du 27-12-19 à 15:02 en réalité car



définit une suite monotone () de fonctions continues sur un compact à valeurs réelles, qui converge simplement vers 0. D'après le (premier) théorème de Dini la convergence est automatiquement uniforme.

Ca donne aussi la convergence sur qui est un compact de , d'ailleurs, si on pose (tout reste borné, tout va bien)

Bonjour
Je trouve qu'il est bien plus direct d'utiliser le fait que la suite est une série alternée pour x>0 fixé (pas de calculs, c'est évident)
Donc pour tout et tout   on a  


(S_p=  somme partielle)

La double inégalité précédente reste valable si on intègre de 0 à   et on obtient le résultat est  par passage à la limite.
  

Merci pour l'aide apportée.

Je retiens donc 3 méthodes pour montrer converge uniformément sur avec .

Méthode 1 : montrer que tend vers 0.
Méthode 2 : en utilisant le théorème de Dini.
Méthode 3 : en utilisant le critère spécial des séries alternées.

Dans la méthode 1 :
On a : .

Et :

Avec  : .

On prouve que .

On prouve ensuite que .

On déduit que

Et donc que  .

C'est le dernier donc qui me pose problème.

Citation :
Pourquoi

Dans la méthode 2 :

Pour pouvoir appliquer le théorème de Dini, il faut que :

1) soit une suite de fonctions continues (immédiat)
2) converge simplement vers une fonction continue .

Or on a vu que .

Donc .

Et donc la converge de vers la fonction continue est acquise.

Citation :

Là aussi, c'est l'implication sur laquelle je bloque.

Citation :

Est-ce moi qui fait une erreur ? La suite est-elle bien décroissante ? Le théorème de Dini peut-il aussi s'appliquer dans le cas d'une suite de fonctions décroissante ?

Dans la méthode 3 :

En posant avec on a bien :
(i) positive.
(ii) décroissante.
(iii) .

La série est donc bien une série alternée.

On déduit du critère spécial que les suites extraites paires et impaires et sont adjacentes de même limite .

Le théorème des suites adjacentes assure aussi l'inégalité :
.

En écrivant les choses, j'obtiens :
.

Mais je ne suis pas certain de cette dernière, pouvez-vous me dire si je suis dans la bonne direction ?

Bonjour,
tu n'as compris aucune des trois méthodes
La première méthode, celle que je t'ai fait suivre consiste à dériver   (et non ), pour lui trouver un maximum global sur .
Nous avons calculé la dérivée, prouvé qu'elle s'annule en un seul point (enfin, je l'ai laissé à ta discrétion) et montré que le point où elle s'annule tend vers 0. Nous nous sommes servi de cette information pour montrer que le maximum de , qui se trouve être atteint en tend lui aussi vers 0, ce qui est littéralement la traduction de , qui ne signifie rien d'autre en français que " converge uniformament vers sur tout compact".

La deuxième méthode utilise le théorème de Dini (ou plutôt, une version modifiée du théorème de Dini), donc tu ne connais pas bien les hypothèses. Tu sembles utiliser les résultats de la méthode 1 dans la méthode 2, ce qui anihile l'utilité de la méthode.

La troisème méthode, qui t'a été indiquée par mes camarades utilise des théorèmes sur les séries alternées - soit pour trouver un majorant uniforme du reste tel que celui que tu évoquais pendant la "méthode 1" (luzak)
- soit pour encadrer l'intégrale de S sur [0,b] (b pouvant être infini) par deux intégrales qui vont te donner des infos sur et (XZ19)

Arf.
Je reprends alors :

Ulmiere @ 02-01-2020 à 14:52


La première méthode, celle que je t'ai fait suivre consiste à dériver   (et non ), pour lui trouver un maximum global sur .
Nous avons calculé la dérivée, prouvé qu'elle s'annule en un seul point (enfin, je l'ai laissé à ta discrétion) et montré que le point où elle s'annule tend vers 0. Nous nous sommes servi de cette information pour montrer que le maximum de , qui se trouve être atteint en tend lui aussi vers 0, ce qui est littéralement la traduction de , qui ne signifie rien d'autre en français que " converge uniformament vers sur tout compact".

Ulmiere @ 02-01-2020 à 14:52


La troisème méthode, qui t'a été indiquée par mes camarades utilise des théorèmes sur les séries alternées - soit pour trouver un majorant uniforme du reste tel que celui que tu évoquais pendant la "méthode 1" (luzak)
- soit pour encadrer l'intégrale de S sur [0,b] (b pouvant être infini) par deux intégrales qui vont te donner des infos sur et (XZ19)

Bonjour

Dans la deuxième ligne je ne vois pas ce que viens faire
le ""  
Je pense que tu voulais dire "."
De toute façon autant dire directement qu'on a
on a :


Sachant que   on obtient le résultat par passage à la limite (th des gendarmes).

Evidemment ce qui facilite la démonstration c'est qu'on a la chance d'avoir une série alternée donc la CVU ne sert pas vraiment ici.
Mais  bien entendu c'est très formateur d'ignorer ce fait pour voir comment faire avec  la CVU.

Concernant le théorème de Dini, on l'applique à , et certainement pas à !

Concernant la question sur la méthode 1 et la limite, il semble que tu n'aies pas compris que est une définition, il n'y a rien à prouver dans cette égalité.
La convergence de ce truc vers 0 implique évidemment la convergence ponctuelle, mais tu ne le savais pas déjà, que convergence uniforme implique convergence ponctuelle ?

Bonjour,

En fait, avec la méthode 2, c'est beaucoup plus simple je trouve !



où .

La suite est une suite de fonctions :
(i) continues
(ii) monotones
(iii) qui converge simplement vers la fonction g=0

Ces trois points se démontrent directement sans difficultés finalement.
Le théorème de Dini s'applique et assure la convergence uniforme sur .

Bonjour
Plus simple que quoi?  
Je me demande maintenant qu'on sait que (g_n) CVU vers 0 sur tout intervalle [0,b] comment tu fais pour terminer l'exercice proprement.

Pour reprendre la méthode 1 :

Ce qui me gêne est le point suivant. On a trouvé comme dérivé :
.
-----
Moi, j'aurais alors écris :
.
Et j'aurais alors obtenu :

-----
Et ici, on a écrit :
.
Qui donne :

-----

C'est ici que je suis perdu.
Est-ce que le raisonnement est le suivant ?
est une suite avec .
Donc par continuité de on a .

Ce qui donne car .

Est-ce qu'on utilise le résultat suivant :
Si et que f continue alors ?

Voyez-vous quel est mon point de blocage ?

Il faut revoir ta logique.  
Lim (g_n(x_n) )=g_n(0)  (quand n tend vers l'infini) n'a pas vraiment de sens.  

Et puis la cvu sur de (g_n) vers zéro mérite d'être traitée plus simplement en se débarrassant des termes inutiles.

Dans la méthode que propose XZ19, je n'ai à priori pas connaissance de ce résultat :

XZ19 @ 02-01-2020 à 18:49


Sachant que   on obtient le résultat par passage à la limite (th des gendarmes).

Tu  as sur [0,\infty)  le facteur   qui ne joue aucun rôle dans la CVU vers 0.
En effet  

étant bien plus facile à étudier, pourquoi compliquer le pb?

Je n'avais pas vu la fin de ton dernier message qui concerne la démonstration où on n'utilise pas la CVU c'est à dire la démo que j'ai préconisée.
Elle est rédigée dans le message de 18:49. Tu ferais mieux de comprendre car tout est dans ce message.

Ah d'accord !



où .

Il s'agit de majorer :

D'une part : donc on a .
D'autre part : donc .

D'où l'on tire : .

Par suite : .

Et l'étude de cette dernière donne le résultat.

Merci !