Intégration terme à terme, exercice de analyse - 836669

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Posté par re : Intégration terme à terme 03-01-20 à 11:16

XZ19 @ 03-01-2020 à 10:39

Je n'avais pas vu la fin de ton dernier message qui concerne la démonstration où on n'utilise pas la CVU c'est à dire la démo que j'ai préconisée.
Elle est rédigée dans le message de 18:49. Tu ferais mieux de comprendre car tout est dans ce message.

J'ai lu le message de 18:49 dans lequel il y a l'utilisation de l'égalité :

XZ19 @ 02-01-2020 à 18:49

Sachant que $\lim_{p\rightarrow \infty} \int_0^{\infty} S_{p} (x) dx=\dfrac{\pi^2}{6}$ on obtient le résultat par passage à la limite (th des gendarmes).

Egalité non donné par l'énoncé, il me semble.

Posté par re : Intégration terme à terme 03-01-20 à 13:19

Je viens de tout reprendre. Voilà ce que j'ai écris :
Pour les notations :

$\displaystyle ||S_n-S||=\sup_{x\in [0,b]}|S_n(x)-S(x)|=sup_{x\in [0,b]} g_n(x)$

où $g_n(x)=\frac{2x}{1+e^{-x}}e^{-(n+2)x}=2x\times\frac{e^{-x}}{e^x+1}\times e^{-{nx}}$ .

Méthode 1 : Par majoration

On a : $g_n(x)\le 2x\times e^{-{nx}}$ puisque $\frac{e^{-x}}{e^x+1}\le 1$ .

D'où $g_n(x)\le h_n(x)$ où $h_n(x)=2x\times e^{-{nx}}$ .

Une étude de la fonction $h_n$ donne $h_n(x)\le h_n(\frac{1}{n})=\frac{2}{n}e^{-1}$ .

Ainsi $\displaystyle 0\le ||S_n-S||_\infty \le \frac{2}{n}e^{-1}$

Et donc la limite de la suite $(||S_n-S||_\infty)_n$ est 0.

Ce qui donne la cvu de $S_n$ vers $S$ sur $[0,b]$ .

Méthode 2 : Théorème de Dini

La suite $(g_n)$ est une suite de fonctions :
(i) continues
(ii) monotones
(iii) qui converge simplement vers la fonction g=0

Le théorème de Dini s'applique et assure la cvu de $g_n$ vers $g$ sur $[0,b]$ .

Ce qui donne la cvu de $S_n$ vers $S$ sur $[0,b]$ .

Méthode 3 : Séries alternées

On reconnaît une série alternée de la forme $\sum_nf_n=\sum_n(-1)^na_n$ avec $a_n=2xe^{-(n+1)x}$ où la suite $(a_n)$ est telle que :
(i) $a_n\ge 0$
(ii) $a_n$ est décroissante
(iii) $a_n$ tend vers 0

On peut donc majorer le reste de la manière suivante :
$|R_n(x)|\le a_{n+1}$

Avec : $R_n(x)=S(x)-S_n(x)$ et : $a_{n+1}=2xe^{-(n+2)x}$

D'où : $|S(x)-S_n(x))|\le 2xe^{-(n+2)x}=:u_n(x)$

L'étude de $u_n$ et prouve que cette fonction est maximale en $x=\frac{1}{n+2}$ .

D'où : $0\le |S(x)-S_n(x))|\le u_n(\frac{1}{n+2})=2\frac{e^{-1}}{n+2}$

Par conséquent $\displaystyle 0\le ||S_n-S||_\infty \le 2\frac{e^{-1}}{n+2}$
Et cette dernière expression tend vers 0.

Ainsi la limite de la suite $(||S_n-S||_\infty)_n$ est 0.

Ce qui donne la cvu de $S_n$ vers $S$ sur $[0,b]$ .

Posté par re : Intégration terme à terme 03-01-20 à 13:39

J'applique alors le théorème d'intégration terme à terme.
C'est possible puisque :

$(f_n)$ est une suite de fonctions $\mathcal{C}([0,b],\mathbb{R}$ ) et que la série $\sum_n f_n$ cvu sur $[0,b]$ .

On a alors les résultats suivants :
(1) $\sum_n f_n$ est continue sur $[0,b]$ donc intégrable sur cet intervalle.
(2) La série $\sum_n\int_0^bf_n$ converge.
(3) On a l'égalité :
$\big \int_0^b(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt$ (*).

---
Membre de gauche :

On a vu dans la question précédente que $\sum_{n=0}^\infty f_n(t)=f(t)$ . On a donc :

$\big \int_0^b(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt=\int_0^b f(t)dt$ .

En faisant tendre vers b vers l'infini (possible puisque f est intégrable sur $[0,\infty[$ ) j'ai donc :
$\big \int_0^\infty(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt=\int_0^\infty f(t)dt$ .

---
Membre de droite :

Je voudrais bien écrire $\lim_{b\to\infty}\sum_{n=0}^\infty\int_0^b(f_n(t))dt=\sum_{n=0}^\infty\lim_{b\to\infty}\int_0^b(f_n(t))dt$ .

Mais j'ai l'impression qui me manque un argument.

---
Admettant ce résultat, je m'en sors bien. Puisque je peux alors écrire l'égalité (*) de la manière suivante :

$\big \int_0^b(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt$ .

$\Leftrightarrow$

$\big \int_0^\infty f(t)dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty f_n(t)dt$ .

En faisant une IPP, je trouve :
$\int_0^\infty f_n(t)dt=2(-1)^n\int_0^\infty te^{-(n+1)t}dt=2(-1)^n\frac{1}{(n+1)^2}$

Donc :
$\big \int_0^\infty f(t)dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(-1)^n}{(n+1)^2}$ .

Puis le résultat annoncé avec un calcul comme effectué par Ulmiere le 27-12-19 à 14:02.

Posté par re : Intégration terme à terme 03-01-20 à 16:21

Rebonjour
Je crois que tu as compris pour la CVU sur [0 b] (et pour les 2 méthodes) mais pas le passage aux intégrales.

En fait je suis d'accord avec toi  dans la phrase "je voudrais bien écrire..."   et bien si on peut l'écrire c'est gagné.
Maintenant il faudrait que tu remarques que ça revient à vérifier que \in_b^\infty g_n(x) dx  tend vers zéro quand b tend vers l'infini.

Quand à la méthode 3. qui est encore plus simple  (puisque qu'on n'utilise pas  la CVU )   le résultat est  par le passage à la limite dans la double inégalité. Je comprends pas ton problème.

Pour les 2 méthodes on sait maintenant que la série des $f_n CVU$ sur $[0,b]$  (et ceci pour tout b>0).

On applique le Th "d'échange somme-intégrale"
qui donne donc  \int

Posté par re : Intégration terme à terme 03-01-20 à 16:23

ps: il faut corriger les fautes du message précédent et il s'arrête à je ne comprends pas ton pb.

Posté par re : Intégration terme à terme 03-01-20 à 17:36

En fait, ce que je saisi pas, c'est comme si j'avais une double limite :

$\lim_{b\to\infty}\left(\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\int_0^b f_n(t) dt\right)\right)=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\lim_{b\to\infty} \left(\int_0^b f_n(t)dt\right)\right)$ .

Je suis bloqué.

Posté par re : Intégration terme à terme 06-01-20 à 14:14

Posté par re : Intégration terme à terme 06-01-20 à 16:32

Avec le théorème j'obtiens l'égalité :

$\big \int_0^b(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt$

J'en déduis alors que :
$\big \int_0^b(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt$

J'arrive à calculer :
$\lim_{b\to\infty}\big \int_0^b(\sum_{n=0}^\infty f_n(t))dt$ (membre de gauche).

J'ai plus de mal avec :
$\lim_{b\to\infty}\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt$ (membre de droite).

Si je peux écrire :
$\lim_{b\to\infty}\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt=\sum_{n=0}^\infty\lim_{b\to\infty}\int_0^b f_n(t)dt$ .

Alors c'est fini, je m'en sors bien.
Mais je n'arrive pas à le justifier.

Ma question est donc :
Est-ce que $\lim_{b\to\infty}\sum_{n=0}^\infty\int_0^b f_n(t)dt=\sum_{n=0}^\infty\lim_{b\to\infty}\int_0^b f_n(t)dt$ ? Et pourquoi ?

D'avance merci.

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