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Niveau terminale
Intersection d'une sphère avec un plan (équations cartésiennes)
Posté par Lubna
Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre la deuxième question de cet exercice :
Enoncé :
Citation :
Soit l'équation : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z = 0
1. Montrer que cette équation est l'équation d'une sphère dont on précisera le centre et le rayon.
J'ai aboutis à l'équation suivante : (x-1)2 + (y+2)2 + (z-3)2 = 4
Je trouve, donc, une sphère de centre C (1,-2,3) et de rayon r=2.
2.a) Cette sphère coupe l'axe (O,i) en deux points A et O.
Déterminer les coordonnées de A.
Je pensais dire que A appartenait à la sphère et à l'axe (O;i) et que ses coordonnées vérifiaient les deux équations.
On trouverait A(xa, 0, 0) mais je n'aboutis à rien après...
b) Déterminer une équation du plan tangent en A à cette sphère.
Soit l'équation : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z = 0
1. Montrer que cette équation est l'équation d'une sphère dont on précisera le centre et le rayon.
J'ai aboutis à l'équation suivante : (x-1)2 + (y+2)2 + (z-3)2 = 4
Je trouve, donc, une sphère de centre C (1,-2,3) et de rayon r=2.
2.a) Cette sphère coupe l'axe (O,i) en deux points A et O.
Déterminer les coordonnées de A.
Je pensais dire que A appartenait à la sphère et à l'axe (O;i) et que ses coordonnées vérifiaient les deux équations.
On trouverait A(xa, 0, 0) mais je n'aboutis à rien après...
b) Déterminer une équation du plan tangent en A à cette sphère.
Merci par avance pour votre aide.
Lubna
Non c'est r²=14 !
x²+y²+z²-2x+4y-6z=0 <=> (x-1)²-1+(y+2)²-4+(z-3)²-9=0
<=> (x-1)²+(y+2)²+(z-3)²=14 ...
Je crois que j'ai compris d'où vient mon erreur.
En fait, x2 - 2x = (x-1)2 - 12
Et c'est pour cela qu'on retombe sur r = 
14
Pour la question suivante, je trouve A confondu avec 0; car si on remplace les coordonnées de a dans l'équation de la sphère, je trouve :
(xA - 1)2 + 22 + (-3)2 = 14
(xA - 1)2 =1
(xA - 1) = 1
xA = 0
Donc A (0,0,0).
Mais non, pour trouver A il faut considérer z=0 et y=0
Cela amène après simplification x(x-2)=0
Donc A(2,0).