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Niveau Maths sup
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Intersection de 2 sous espaces vectoriels

Posté par
matix 22-02-07 à 11:37

Bonjour,

Je cherche à déterminer l'intersection de F et G, qui sont tout deux des sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^4.

Ils sont ainsi définis:

F=Vect(\{(1,1,0,-1),(1,0,0,-1),(2,1,0,-1)\})
G= \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 / x+y-z+2t=0 \}

Si j'avais eu F sous la même forme que G, je m'en serais tiré assez rapidement je pense. Or, là, avec la forme qu'a F, je suis bloqué.
Comment feriez-vous alors pour déterminer F \cap G? Changer la forme de F? Si tel est le cas (peut-on faire autrement à vrai dire?), je pense qu'il faudrait écrire F ainsi:

F=\{u.(1,1,0,-1)+v.(1,0,0,-1)+w.(2,1,0,-1) / (u,v,w) \in \mathbb{R}^3\}

soit

F=\{(u+v+2w,u+w,0,-u-v-w) : (u,v,w) \in \mathbb{R}^3 \},

mais je ne vois pas pour l'instant à ce que cela me mène. Je suis bloqué.

Si certains d'entre vous peuvent m'éclairer, m'aider à avancer, m'indiquer une méthode, etc, je les en remercie d'avance.

Bonne fin de matinée!

Posté par
robby3Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 11:52

Bonjour matix,moi je te propose plutot d'exprimer G sous la forme de F...
on:\rm x+y-z+2t=0 <=> z=x+y+2t
on a alors:\rm x(1,0,0,0)+y(1,0,0,0)+z(1,0,0,0)+t(1,0,0,0)=x(1,0,0,0)+y(1,0,0,0)+
[x(0,0,1,0)+y(0,0,1,0)+t(0,0,2,0)]+t(0,0,0,1)
\rm soit donc x(1,0,1,0)+y(0,1,1,0)+t(0,0,2,1)
On a donc en fait:G=Vect{(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,2,1)}
Voila sauf erreur de calculs...Je te laisse conclure sur l'intersection...

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:00

Bonjour robby3,

Merci bien de ta réponse! Je suis d'accord avec ce que tu dis. Seulement, en ayant des formes comme celles-ci de F et de G (ie avec "Vect"), je ne sais pas comment déterminer leur intersection, tandis qu'avec deux formes comme celle de G, je pense que j'aurais pu m'en sortir. A moins que tu m'expliques comment il faut procéder?

Encore merci de ton aide.

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:05

eh bien sauf erreur de ma part,quand tu as des "vect" comme cela,et que tu cherches l'intersection,il faut regarder si tu as des des vecteurs de G qui s'écrivent comme Combinaison linéaire de vecteurs de F...En gros pour etre plus compréhensible,si les vecteurs qui engendrent G ne sont pas proportionnels à ceux qui engendrent F alors l'intersection est vide.Dans ton cas,juste comme ça en regardant,je pense bien que l'intersection est vide...
(à confirmer)

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:12

Ok, je l'ignorais.. Par contre, pour info tout de même, était-il possible de partir comme je voulais faire initialement, à savoir transformer l'écriture de de F au lieu de celle de G? Et si oui...comment?

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:25

euh oui je pense que c'est possible mais la par contre je sais plus trop bien comment on fait...On peut faire comme tu as fait en remplaçant tes u,v,w par des x,y,z peut-etre mais je vois pas trop aprés.(dsl je vais manger je reviens)

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:31

Oui, en effet, du coup on aurait:

- x=u+v+2w
- y=u+w
- z=0
- t=-u-v-w

Mais après ça...

Bon appétit robby3!

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:40

Problème:

"L'intersection de deux sous-espaces vectoriels n'est jamais vide" ...

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:49

Normal puisqu'elle contient au moins 0

Je pense qu'on pourrait commencer par déterminer la dimension de \rm F \cap G non?

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 12:58

Pour trouver 3$\rm F\cap G il suffit de juxtaposer les systèmes d'équation cartésiennes de F et G. Pour cela il faut d'abord les trouver, mais en ayant F et G sous la forme Vect(...) ce n'est pas compliqué.

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:02

ahh oui c'est vrai j'ai fait un abus de langage:je voulais dire F inter G={0} c'est mieux comme ça.

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:05

Si on arrive à montrer que F et G sont en somme direct, le résultat de robby3 découle trivialement.
Il n'est pas difficile de travailler sur F+G (dimension etc...)

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:26

Bonjour Nightmare...dis moi quand tu fais référence à la dimension de l'intersection,tu fais appel à la formule de grassman?? dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(GinterF)...??

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:30

Oui

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:39

Bonjour Nightmare!  

[Je mangeais aussi]

Pour répondre à ma question posée initialement, je ne veux pas utiliser les dimensions (je ne suis pas supposé connaître encore... ), et je veux donc le faire, comme tu le dis, en "juxtaposant les systèmes d'équation cartésiennes de F et G." Et comme tu le dis, aussi, il faut les trouver ces équations cartésiennes.

Il faut donc à mon avis mettre F et G sous la "même forme": soit avec les équations cartésiennes, soit avec la forme Vect(..).

Dans le premier, cas, j'ai tenté (voir premier message), mais je reste bloqué.
Dans le deuxième cas, je n'ai pas exactement compris, une fois qu'on a F et G sous forme Vect(..), comment rédige/explique pourquoi l'intersection est 0..

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:41

Avec la forme Vect(...) tu peux mettre F et G sous forme d'équations paramétriques puis à l'aide des matrices te ramener à une équation cartésienne mais ça m'a l'air laborieux aussi...

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:44

Re,pour faire simple et rapide,tu peux dire que comme les vecteurs engendrant F ne sont pas colinéaires aux vecteurs engendrant G alors F inter G={0}...c'est ok?

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:49

Sur quoi je me base pour dire ce que tu dis robby3?

Nightmare, en effet, plutôt laborieux comme méthode.. mais pour info, ce n'est à priori pas ce que je ferai, mais comment aurais-je pu continuer ce que j'avais entrepris dans mon premier message?

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 13:57

lol à part dire "ça se voit",tu peux faire pour chaque vecteur de G ceci (mais c'est long,ennuyeux et pas trés utile,c'est juste pour te convaincre):
exemple:
\rm on appelle u=(1,0,1,0),alors si u etait dans Vect({(1,1,0,-1),(1,0,0,-1),(2,1,0,-1)})=F
\rm cela voudrait dire qu'il existe a,b,c \in \R tel que u=a(1,1,0,-1)+b(1,0,0,-1)+c(2,1,0,-1)
tu résoud alors ce systeme d'équation et tu montre que c'est pas possible tu fait de meme pour les deux autres vecteurs engendrant G.

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 14:06

Ok! Je pense avoir saisi robby3! Merci beaucoup, ainsi qu'à Nightmare! Il est fort probable que je repasse ici dans l'après-midi, en effet, une autre question me pose problème... Bonne après-midi à vous.

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 14:14

ok matix,pas de problemes.
Bonne aprés midi à toi aussi

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 14:20

Bonne après midi

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:21

Je reviens sur la même question... Désolé de vous contredire, mais je ne pense en fait pas que F\cap G=\{0\}... L'intersection contient forcément le vecteur nul puisque c'est le cas de tous les sous-espaces vectoriels, mais cette intersection est plus "importante", elle est de dimension 2 ou 3, alors que \{0\} est de dimension 0) ... ne croyez-vous pas?

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:24

Euh, dim {0} ne vaut surement pas 0...

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:25

Euh si autant pour moi, j'avais confondu avec l'ensemble vide

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:26

Ah bon?

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:26

Ah .. Alors du coup....?

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:26

pourquoi elle est de dimension 2 ou 3??

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:30

Formule de Grassmann \Rightarrow \dim F \cap G = \dim F + \dim G - \dim F \cup G = 6 - \dim F \cup G
F \subset F \cup G \subset \mathbb{R}^4, on a \dim F \leq \dim F \cup G \leq \dim \mathbb{R}^4 soit 3 \leq \dim F \cup G \leq 4 et donc 2 \leq \dim F \cap G \leq 3... d'accord?

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:37

euhh je suis pas sur que c'est la formule de grassman ça...

Posté par
Nightmarere : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:40

Non en effet il y a un problème dans l'énoncé de la formule de Grassmann là matix

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 15:52

Ah... en effet... oups, désolé.
Par contre, je reste tout de même sceptique: si je reprends ce qu'à dit robby3:

G=Vect\{(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,2,1)\}
On ne trouve donc à priori aucune combinaison linéaire de ces vecteurs avec ceux de F. Mais cela ne veut pas pour autant dire que l'intersection est \{0\}! En effet, du moins je pense, les vecteurs choisis pour écrire G comme un Vect ne sont pas uniques...

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:04

ils ne sont pas uniques mais s'écrivent au moins comme combinaison linéaire de ceux la...donc...

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:11

Ah bon? Pfiouu... j'avoue être un peu hors-circuit là... Je sais plus trop où j'en suis. Quand on pense que cette question est la première d'un exo censé être d'"application" du cours... ça promet.

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:16

oui,ces vecteurs engendrent G...jusque la c'est bon...ils ne sont pas uniques car k.(ces vecteurs) ou k est dans Z,engendrent aussi G...tu es d'accord la?

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:24

Oui..

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:31

lol bah voila c'est tout...il faut juste que tu te rappelle que quand on écrit A=Vect...ça veut dire que A est combinaison linéaire de ce qu'il y a dans le vect...
voila c'est tout.
ensuite comme tu la dis: On ne trouve donc à priori aucune combinaison linéaire de ces vecteurs avec ceux de F...donc ça veut dire que l'intersection est {0} puisque l'intersection  de F et G est un sous-espace vectoriel donc il contient au moins {0} et il ne contient que lui parce que justement les vecteurs de F et ceux de G ne sont pas colinéaires(ou proportionnels comme tu veux...)
la c'est bon,mieux ou moins bien

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:33

Je réfléchis à tout ce que tu as dit...

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 16:35

ok

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 17:07

Si on montre que tous les éléments de F vérifient l'équation définissant G, que peut-on en déduire?

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 17:18

mais ce n'est pas le cas ici??

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 17:30

Ben... si!

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 17:37

euhh sauf erreur le deuxieme vecteur engendrant F ...il vérifie pas trop l'équation de G??De meme pour le dernier...

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 17:55

Exact... Je replonge dans la réflexion..

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 17:57

ok comme tu veux,mais moi je vais aller faire un tour la faut que je prenne l'air...je viens de passer trois jours sur les séries de fonction et la je suis un peu crevé...donc je reviendrais sans doute ce soir tard ou bien demain dans la journée.
Mais pose tes questions surtout n'hésite pas.
A bientot

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 22-02-07 à 18:02

Merci à toi! Bonne ... "promenade"!

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 23-02-07 à 11:21

Bonjour!

J'ai une autre solution à proposer

On note A=(1,1,0,-1) ; B=(1,0,0,-1) ; C=(2,1,0,-1) les vecteurs définissant F. J'ai pris un élément générique X=uA+vB+wC=(u+v+2w,u+w,0,-u-v-w) de F (voir posts ci-avants) et je me suis demandé si X était dans G. Par définition de G on a :

X \in G \Leftrightarrow (u+v+2w)+(u+w)-(0)+2(-u-v-w)=0 \Leftrightarrow w-v=0


Donc mon élément X s'écrit en fait X=uA+vB+vC=uA+v(B+C). Il est combinaison linéaire des vecteurs A et B+C=(3,1,0,-2) (c'est le signification du Vect).

Donc finalement:

F \cap G = Vect(A, B+C)

Alors, est-ce faux là encore?

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 23-02-07 à 12:22

Re bonjour,

En fait d'aprés ce que tu as marqué,on a:
X=Vect({A,B+C}) et F=Vect(X)...
la en fait je suis pas sur...pour X...il est combinaison linéaire de A et B+C,mais B+C est lui meme combinaison linéaire de B et C...donc je sais pas si X=Vect(A,B,C)...
Dans ce cas F inter G=Vect(A,B,C)...
Il faut demander confirmation ou quelqu'un de plus expérimenté dans le domaine...parce que je suis pas sur à 100% la...dsl

Posté par
matixre : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 23-02-07 à 12:25

D'un autre côté, je suis bien censé trouver F \cap G = \{0_{\mathbb{R}^4}\}, puisqu'il faut par la suite déduire que F et G sont en somme directe...

Posté par
robby3re : Intersection de 2 sous espaces vectoriels 23-02-07 à 12:28

attends en fait aprés m'avoir relu...on a bien:
X=Vect(A,B,C)et \rm X\inG <=> w=v donc X=aA+v(B+C) d'ou F inter G=A,b,C
parce qu'en faite X est à la fois dans F et dans G donc...F inter G=X=Vect(A,B,C)...la c'est mieux déja,voila,je pense que c'est pas trop mal ce que je raocnte la


en ce qui concerne ton exercice,on a bien l'intersection réduite à {0}...

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