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Intersection de 2 sous espaces vectoriels
Bonjour,
Je cherche à déterminer l'intersection de et
, qui sont tout deux des sous-espaces vectoriels de
.
Ils sont ainsi définis:
Si j'avais eu sous la même forme que
, je m'en serais tiré assez rapidement je pense. Or, là, avec la forme qu'a
, je suis bloqué.
Comment feriez-vous alors pour déterminer ? Changer la forme de
? Si tel est le cas (peut-on faire autrement à vrai dire?), je pense qu'il faudrait écrire
ainsi:
soit
,
mais je ne vois pas pour l'instant à ce que cela me mène. Je suis bloqué.
Si certains d'entre vous peuvent m'éclairer, m'aider à avancer, m'indiquer une méthode, etc, je les en remercie d'avance.
Bonne fin de matinée!
Bonjour matix,moi je te propose plutot d'exprimer G sous la forme de F...
on:
on a alors:
On a donc en fait:
Voila sauf erreur de calculs...Je te laisse conclure sur l'intersection...
Bonjour robby3,
Merci bien de ta réponse! Je suis d'accord avec ce que tu dis. Seulement, en ayant des formes comme celles-ci de F et de G (ie avec "Vect"), je ne sais pas comment déterminer leur intersection, tandis qu'avec deux formes comme celle de G, je pense que j'aurais pu m'en sortir. A moins que tu m'expliques comment il faut procéder?
Encore merci de ton aide.
eh bien sauf erreur de ma part,quand tu as des "vect" comme cela,et que tu cherches l'intersection,il faut regarder si tu as des des vecteurs de G qui s'écrivent comme Combinaison linéaire de vecteurs de F...En gros pour etre plus compréhensible,si les vecteurs qui engendrent G ne sont pas proportionnels à ceux qui engendrent F alors l'intersection est vide.Dans ton cas,juste comme ça en regardant,je pense bien que l'intersection est vide...
(à confirmer)
Ok, je l'ignorais.. Par contre, pour info tout de même, était-il possible de partir comme je voulais faire initialement, à savoir transformer l'écriture de de F au lieu de celle de G? Et si oui...comment?
euh oui je pense que c'est possible mais la par contre je sais plus trop bien comment on fait...On peut faire comme tu as fait en remplaçant tes u,v,w par des x,y,z peut-etre mais je vois pas trop aprés.(dsl je vais manger je reviens)
Normal puisqu'elle contient au moins 0 
Je pense qu'on pourrait commencer par déterminer la dimension de non?
Pour trouver il suffit de juxtaposer les systèmes d'équation cartésiennes de F et G. Pour cela il faut d'abord les trouver, mais en ayant F et G sous la forme Vect(...) ce n'est pas compliqué.
Si on arrive à montrer que F et G sont en somme direct, le résultat de robby3 découle trivialement.
Il n'est pas difficile de travailler sur F+G (dimension etc...)
Bonjour Nightmare...dis moi quand tu fais référence à la dimension de l'intersection,tu fais appel à la formule de grassman?? dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(GinterF)...??
Bonjour Nightmare!
[Je mangeais aussi]
Pour répondre à ma question posée initialement, je ne veux pas utiliser les dimensions (je ne suis pas supposé connaître encore... 
), et je veux donc le faire, comme tu le dis, en "juxtaposant les systèmes d'équation cartésiennes de F et G." Et comme tu le dis, aussi, il faut les trouver ces équations cartésiennes.
Il faut donc à mon avis mettre F et G sous la "même forme": soit avec les équations cartésiennes, soit avec la forme Vect(..).
Dans le premier, cas, j'ai tenté (voir premier message), mais je reste bloqué.
Dans le deuxième cas, je n'ai pas exactement compris, une fois qu'on a F et G sous forme Vect(..), comment rédige/explique pourquoi l'intersection est 0..
Avec la forme Vect(...) tu peux mettre F et G sous forme d'équations paramétriques puis à l'aide des matrices te ramener à une équation cartésienne mais ça m'a l'air laborieux aussi...
Re,pour faire simple et rapide,tu peux dire que comme les vecteurs engendrant F ne sont pas colinéaires aux vecteurs engendrant G alors F inter G={0}...c'est ok?
Sur quoi je me base pour dire ce que tu dis robby3?
Nightmare, en effet, plutôt laborieux comme méthode.. mais pour info, ce n'est à priori pas ce que je ferai, mais comment aurais-je pu continuer ce que j'avais entrepris dans mon premier message?
lol à part dire "ça se voit",tu peux faire pour chaque vecteur de G ceci (mais c'est long,ennuyeux et pas trés utile,c'est juste pour te convaincre):
exemple:
tu résoud alors ce systeme d'équation et tu montre que c'est pas possible tu fait de meme pour les deux autres vecteurs engendrant G.
Ok! Je pense avoir saisi robby3! Merci beaucoup, ainsi qu'à Nightmare! Il est fort probable que je repasse ici dans l'après-midi, en effet, une autre question me pose problème... Bonne après-midi à vous.
Je reviens sur la même question... Désolé de vous contredire, mais je ne pense en fait pas que ... L'intersection contient forcément le vecteur nul puisque c'est le cas de tous les sous-espaces vectoriels, mais cette intersection est plus "importante", elle est de dimension 2 ou 3, alors que
est de dimension
) ... ne croyez-vous pas?
Ah... en effet... oups, désolé.
Par contre, je reste tout de même sceptique: si je reprends ce qu'à dit robby3:
On ne trouve donc à priori aucune combinaison linéaire de ces vecteurs avec ceux de . Mais cela ne veut pas pour autant dire que l'intersection est
! En effet, du moins je pense, les vecteurs choisis pour écrire
comme un Vect ne sont pas uniques...
Ah bon? Pfiouu... j'avoue être un peu hors-circuit là...
Je sais plus trop où j'en suis. Quand on pense que cette question est la première d'un exo censé être d'"application" du cours... ça promet.
oui,ces vecteurs engendrent G...jusque la c'est bon...ils ne sont pas uniques car k.(ces vecteurs) ou k est dans Z,engendrent aussi G...tu es d'accord la?
lol bah voila c'est tout...il faut juste que tu te rappelle que quand on écrit A=Vect...ça veut dire que A est combinaison linéaire de ce qu'il y a dans le vect...
voila c'est tout.
ensuite comme tu la dis: On ne trouve donc à priori aucune combinaison linéaire de ces vecteurs avec ceux de F...donc ça veut dire que l'intersection est {0} puisque l'intersection de F et G est un sous-espace vectoriel donc il contient au moins {0} et il ne contient que lui parce que justement les vecteurs de F et ceux de G ne sont pas colinéaires(ou proportionnels comme tu veux...)
la c'est bon,mieux ou moins bien 
euhh sauf erreur le deuxieme vecteur engendrant F ...il vérifie pas trop l'équation de G??De meme pour le dernier...
ok comme tu veux,mais moi je vais aller faire un tour la faut que je prenne l'air...je viens de passer trois jours sur les séries de fonction et la je suis un peu crevé...donc je reviendrais sans doute ce soir tard ou bien demain dans la journée.
Mais pose tes questions surtout n'hésite pas.
A bientot
Bonjour!
J'ai une autre solution à proposer
On note ;
;
les vecteurs définissant
. J'ai pris un élément générique
de
(voir posts ci-avants) et je me suis demandé si
était dans
. Par définition de
on a :
Donc mon élément s'écrit en fait
. Il est combinaison linéaire des vecteurs
et
(c'est le signification du Vect).
Donc finalement:
Alors, est-ce faux là encore?
Re bonjour,
En fait d'aprés ce que tu as marqué,on a:
et
...
la en fait je suis pas sur...pour X...il est combinaison linéaire de A et B+C,mais B+C est lui meme combinaison linéaire de B et C...donc je sais pas si X=Vect(A,B,C)...
Dans ce cas F inter G=Vect(A,B,C)...
Il faut demander confirmation ou quelqu'un de plus expérimenté dans le domaine...parce que je suis pas sur à 100% la...dsl
D'un autre côté, je suis bien censé trouver , puisqu'il faut par la suite déduire que
et
sont en somme directe...
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