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Invariant de similitude
Bonsoir à vous ! 
"Soit K un corps, 
K et n
1.
On note Jn():=J la matrice carrée de taille n de la forme suivante :
1) Montrer que pour toute matrice sur K, son polynôme minimal est donné par son invariant de similitude de plus grand degré.
2) Déterminer le polynome minimal de J. En déduire ses invariants de similitude.
3) Soit M une matrice diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont Jn1(1),..., Jn[sub]r[/sub](r). On dit qu'une telle matrice est en forme de Jordan.
Quels sont ses invariants de similitude ?
4) Si M' est une autre matrice de même taille, également diagonale par blocs, de bloc Jn'[sub]1[/sub]('1),...Jn'[sub]s[/sub]('s), à quelle condition M est-elle semblable à M'.
5) En déduire le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice complexe est sembable à une matrice de Jordan, unique à permutation près des blocs de Jordan.
(Je maîtrise pas bien les invariants de similitudes donc vous êtes ma dernière chance avant les examens)
Juste pour la 1) J'ai montré que le polynôme minimal est (X-)n.
Ce que je sais c'est que si E est un K[X] module de torsion et de type finis, il existe P1,.......,Pr tels que pour tout i, Pi divise Pi+1. Et on peut écrire que E 
(K[X]/P1)x ....x (K[X]/Pr) après comment utiliser cela dans l'exo ?
PS : C'est un exercice de "recherche", le prof sait bien que c'est difficile pour notre niveau de L3, toutefois j'aimerai bien comprendre au moins les 3 premières questions ...
Bonjour AnneDu60
Juste pour la 1) je dirai que le polynôme minimal (il doit annuler la matrice, être unitaire et de plus bas degré possible) est plutôt .
Un invariant de similitude est une quantité qu'on peut associer à toute matrice carrée (à coefficients dans un corps commutatif fixé K), telle que pour deux matrices semblables cette quantité soit toujours la même. Des exemples d'invariants de similitude sont la taille de la matrice, sa trace, son déterminant, son polynôme caractéristique (dont on peut déduire les trois invariants précédents), ou encore son polynôme minimal. Du fait de cette invariance, une telle quantité peut aussi être associée à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, en utilisant sa matrice dans une base quelconque de l'espace.
Un ensemble d'invariants de similitude est appelé un système complet si pour deux matrices non semblables, au moins un des invariants prend des valeurs distinctes sur les deux matrices. Les invariants mentionnés ci-dessus ne forment pas un système complet. Mais un système complet est connu : ces invariants sont classiquement appelés les invariants de similitude d'une matrice. Ces invariants consistent en une suite finie de polynômes unitaires, dont chacun divise son successeur, dont le dernier élément est le polynôme minimal, et dont le produit donne le polynôme caractéristique.
Cela dit :
1) Montrer que pour toute matrice sur K, son polynôme minimal est donné par son invariant de similitude de plus grand degré.
n'est pas difficile à montrer, mais ce n'est pas complètement trivial non plus.
Il faut décomposer l'espace en somme directe de sous-espaces A-monogènes etc etc
n est un entier 2 .
J( ) = .In + B où B est la matrice , dans la base canonique de Kn , de l'endomorphisme u qui vérifie u(e1) = 0 et, u(ek) = ek-1 pour les autre k .
On a : un-1(E) = K.e1 donc un-1 
0 mais un = 0 .
Le polynôme caractéristique P de J() est (X - )n .
Le polynôme minimal de J() , qui divise P , est donc Q := (X - )n .
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