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Inverse matrice

Posté par
AnnieLila
02-01-23 à 22:06

Bonsoir,

J'ai un DM à rendre et je bloque sur une question. En effet, on m'a fait calculer le carré d'une matrice A, puis A^4. Il se trouve que A^4=9*Id, la matrice identité. On me demande ensuite de déduire la matrice inverse de A, mais je ne vois pas comment faire. La matrice inverse de A^4 est simple à déterminer, mais je ne vois pas comment me servir de ça pour déterminer A^-1.

Je vous remercie !

Posté par
jsvdb
re : Inverse matrice 02-01-23 à 22:33

Bonsoir AnnieLila
Simplement, il faut se rappeler qu'une matrice (carrée nxn) A est inversible s'il existe une matrice B (carrée nxn) B telle que AB = I.

Donc si A^4 = 9 I que dire de A\times \frac{A^3}{9} ?

Posté par
etniopal
re : Inverse matrice 02-01-23 à 22:35

     Si  A4 =9.I    A.B = I  où B := (1/9).A3

Posté par
AnnieLila
re : Inverse matrice 03-01-23 à 00:01

Merci beaucoup à vous deux !

Ma matrice est une matrice 3*3, mais toujours est-il que A*A^3/9=A^-4. Mais en mettant le tout à la puissance -1 et en multipliant par A^-3 puis par 9, on isole A^-1 ! J'ignore si ça fonctionne, mais si tel était le cas, pourriez vous me le confirmer s'il vous plaît ?

Merci encore !

Posté par
AnnieLila
re : Inverse matrice 03-01-23 à 00:05

Ah non ! c'est plus simple que ça ! A*A^3/9 est justement l'inverse !

Merci infiniment !

Posté par
jsvdb
re : Inverse matrice 03-01-23 à 01:52

AnnieLila @ 03-01-2023 à 00:05

A*A^3/9 est justement l'inverse !


Non !

Raisonne de façon simple à partir des principes et oublie les "je mets tout à la puissance -1" qui parasite ton raisonnement :

On raisonne dans les matrices carrées (n,n) (et plus généralement dans un anneau) :

Principe : Si pour une matrice A donnée, on peut trouver une matrice B qui vérifie AB = I, alors la matrice B est nommée par définition "inverse de A" et est notée A^{-1}.
---> Donc on ne parle de "puissance -1" tant qu'on n'a pas dégoté la relation AB = I.


Application à ton cas :

on sait que la matrice A vérifie la relation A^4 = 9I.

Donc A\times A^3 = 9I donc  \red A\times \frac{A^3}{9}=I

Et c'est cette dernière relation en rouge qui me permet d'affirmer que :

1- A est inversible

2- L'inverse de A est la matrice \frac{A^3}{9} et donc

3- On peut écrire A^{-1} = \frac{A^3}{9}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inverse matrice 03-01-23 à 10:31

Bonjour,
Juste une remarque : Comme pour les vecteurs, éviter de diviser des matrices.

On n'écrit pas \dfrac{\vec{u}}{9} mais \dfrac{1}{9}\vec{u} .

On n'écrit pas \dfrac{A^3}{9} mais \dfrac{1}{9}A^3 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inverse matrice 03-01-23 à 10:32

Oups ! Je croyais répondre à AnnieLila.

Posté par
jsvdb
re : Inverse matrice 03-01-23 à 14:47

Bonjour Sylvieg et bonne année à toi !
Ta remarque est pertinente, au temps pour moi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inverse matrice 03-01-23 à 16:25

Merci de bien le prendre et meilleurs vœux pour (2+0+2+3)(22+02+22+32)2

Posté par
jsvdb
re : Inverse matrice 03-01-23 à 16:51

Ah ! Joliiiiiiiiiiiii ! Une façon très mathématique de souhaiter la bonne année
Je me vois mal faire le coup à maman

Pour la remarque, bien entendu que je ne vais pas le prendre mal car c'est moi qui ai faux;
La structure des matrices est celle d'un module, donc opération externe par des scalaires (ici un espace vectoriel, mais c'est ça ne change rien)
Donc il faut écrire correctement \frac{1}{9}A et non A/9 qui signifierait A/(9I) qui, bien entendu n'a pas de sens.
Néanmoins, je pense que ce petit abus d'écriture peut être tolérable s'il n'en résulte pas de confusion.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inverse matrice 03-01-23 à 17:20

Joli, mais pas de moi
Voir Nombre 2023
J'en fait profiter, non pas ma maman qui aurait apprécié, mais d'autres membres de ma familles qui sont aussi un peu matheux.



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