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Inverse matrice
Bonsoir,
J'ai un DM à rendre et je bloque sur une question. En effet, on m'a fait calculer le carré d'une matrice A, puis A^4. Il se trouve que A^4=9*Id, la matrice identité. On me demande ensuite de déduire la matrice inverse de A, mais je ne vois pas comment faire. La matrice inverse de A^4 est simple à déterminer, mais je ne vois pas comment me servir de ça pour déterminer A^-1.
Je vous remercie !
Bonsoir AnnieLila
Simplement, il faut se rappeler qu'une matrice (carrée nxn) A est inversible s'il existe une matrice B (carrée nxn) B telle que AB = I.
Donc si que dire de
?
Merci beaucoup à vous deux !
Ma matrice est une matrice 3*3, mais toujours est-il que A*A^3/9=A^-4. Mais en mettant le tout à la puissance -1 et en multipliant par A^-3 puis par 9, on isole A^-1 ! J'ignore si ça fonctionne, mais si tel était le cas, pourriez vous me le confirmer s'il vous plaît ?
Merci encore !
A*A^3/9 est justement l'inverse !
Non !
Raisonne de façon simple à partir des principes et oublie les "je mets tout à la puissance -1" qui parasite ton raisonnement :
On raisonne dans les matrices carrées (n,n) (et plus généralement dans un anneau) :
Principe : Si pour une matrice A donnée, on peut trouver une matrice B qui vérifie AB = I, alors la matrice B est nommée par définition "inverse de A" et est notée
---> Donc on ne parle de "puissance -1" tant qu'on n'a pas dégoté la relation AB = I.
Application à ton cas :
on sait que la matrice A vérifie la relation
Donc
Et c'est cette dernière relation en rouge qui me permet d'affirmer que :
1- A est inversible
2- L'inverse de A est la matrice
3- On peut écrire
Bonjour,
Juste une remarque : Comme pour les vecteurs, éviter de diviser des matrices.
On n'écrit pas mais
.
On n'écrit pas mais
.
(22+02+22+32)2 Ah ! Joliiiiiiiiiiiii ! Une façon très mathématique de souhaiter la bonne année 
Je me vois mal faire le coup à maman 
Pour la remarque, bien entendu que je ne vais pas le prendre mal car c'est moi qui ai faux;
La structure des matrices est celle d'un module, donc opération externe par des scalaires (ici un espace vectoriel, mais c'est ça ne change rien)
Donc il faut écrire correctement et non A/9 qui signifierait A/(9I) qui, bien entendu n'a pas de sens.
Néanmoins, je pense que ce petit abus d'écriture peut être tolérable s'il n'en résulte pas de confusion.
Joli, mais pas de moi 
Voir 
Nombre 2023
J'en fait profiter, non pas ma maman qui aurait apprécié, mais d'autres membres de ma familles qui sont aussi un peu matheux.
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