Bonsoir,
J'ai besoin d'aide sur cet exercice. Je suis complètement bloqué sur la question a).
a) Pour a,b entiers naturels non nuls, montrer que la fonction polynômiale et ses dérivées successives prennent en x=0 des valeurs entières.
b) Établir la même propriété en .
c) Pour n entier naturel non nul, on pose
Montrer que
d) En supposant Montrer que In . Conclure.
a) Pour x=0, Pn(0)=0 est bien un entier
Calcule peut-être les dérivées première et seconde de Pn pour démarrer et vérifie que leur valeur en 0 est un entier. Ensuite, essaie une récurrence ou utilise la formule de dérivation d'un produit à l'ordre n.
Bonjour,
Ona
Soit P(n) la proposition « m »
Initialisation
Pour m=0, m=1 c'est déjà vérifier
Hérédité
Supposons que , alors
Bonjour,
Un peu de psychologie :
Si les dérivées étaient toutes nulles, la question ne serait pas sur "valeurs entières".
Faire une conjecture avec seulement n = 0 et n = 1 est audacieux.
Je pense qu'il faut utiliser la formule de la dérivée nième d'un produit.
Soit Qn la proposition « m≤n , »
Initialisation
Bonjour à tous.
L'idée que carpediem a exposée à 10h21 permet effectivement de faire une démonstration par récurrence, même si toureissa n'a pas su l'exploiter.
Je vais cependant indiquer une autre idée.
Premier cas: :
est une fonction polynomiale admettant 0 comme racine de multiplicité d'ordre n. Donc, et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre s'annulent en 0.
Deuxième cas:
est une fonction polynomiale de degré 2n. Donc, toutes les dérivées d'ordre supérieur à 2n+1 de sont nulles ...
Troisième cas: :
Ici, on va appliquer la formule de Leibniz à avec et .
La seule dérivée de qui ne s'annule pas en 0 est est . On en déduit que;
Il ne reste plus qu'à calculer explicitement ou à remarquer que est une fonction polynomiale à coefficients entiers) ...
Bonjour,
Merci.
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