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Irrationnalité de pi

Posté par
tanb56 06-05-23 à 19:31

Bonjour à tous !
J'ai quelques petits problèmes avec les questions suivantes :

On suppose que π² est un nombre rationnel. On peut alors écrire \frac{\pi ^{2}}{4}=\frac{p}{q} où p et q sont des entiers naturels non nuls. Dans toute la suite, pour tout entier n strictement positif, on note I_{n}=q^{n}\sqrt[2]{\frac{p}{q}}*\frac{(\frac{p}{q})^{2n}}{2*4*...*(4n)}\int_{0}^{1}{(1-t^{2})^n{cos(\frac{\pi }{2}t})dt}.
1. Justifier que, pour tout n \in N*, on a I_{n} > 0
Ici j'ai raisonné assez simplement, en disant que, comme p et q sont des entiers naturels, ils sont positifs, donc les trois premiers termes sont positifs, par contre pour ce qui est de l'intégrale, je ne sais pas trop comment justifier, j'avais pour idée de la décomposer en exponentielle mais ça n'a pas donné grand chose..

2. Soit n \in N*. Si B \in R_{2n}[X] est un polynôme pair à coefficients entiers, montrer qu'il existe P \in R_{n}[X] à coefficients entiers tel que B(X)=P(X²)
Pour cette question j'ai commencé par écrire :
B(X)=\frac{B(x)}{2}+\frac{B(-X)}{2}
Donc le premier terme de cette somme est un polynôme pair, et le second est impair. Ensuite j'ai voulu montrer que tout polynôme pair de degré 2n peut être écrit sous la forme Q(X²) où Q est un polynôme de degré n. On peut donc écrire : B(X) comme une somme de monômes de la forme a_k X^{2k} où k varie de 0 à n, on a donc écrire B(X) sous la forme a_k (X^2)^k (en regroupant les termes de degré égal) en notant Q(X)=a_0 + a_1 X^2 + ... + a_n X^{2n}, on a bien  B(X) = Q(X^2), mais je ne sais pas trop comment continuer ^^'

3. Montre que, pour tout n \in N*, on a 0<I_{n}<\frac{\pi }{2}\frac{(\frac{\pi^{2}\sqrt{q}}{8})^{2n}}{(2n)!}
J'avoue que pour cette question, j'ai eu l'idée de faire une récurrence, mais je ne pense pas que ça m'avancera à grand chose..

Posté par
carpediemre : Irrationnalité de pi 06-05-23 à 19:49

salut

vu la positivité d'un carré ou d'un entier naturel la règle des signes assure que le facteur de l'intégrale est positif

quant à l'intégrande il est à nouveau positif sur l'intervalle [0, 1] : il suffit de regarder 1 - t^2 et cos (pi/2)t sur cet intervalle

Posté par
carpediemre : Irrationnalité de pi 06-05-23 à 19:50

2/ quelle est la définition d'un polynome pair ?

Posté par
tanb56re : Irrationnalité de pi 06-05-23 à 22:26

Merci de votre réponse !
Donc pour la première question, 1-t^2 est positif ou nul sur [0,1] et cos(pi*t/2) est aussi positif ou nul, donc l'ensemble sera positif.

Pour répondre à votre question, un polynôme est pair si il vérifie : P(-X) = P(X)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 00:53

Bonsoir

3. C'est presque immédiat en remarquant que \Large\boxed{\sqrt{\frac{p}{q}}=\frac{\pi}{2}~~;~~\frac{\pi^2\sqrt q}{8}=\frac{p\sqrt q}{2q}}


et donc \Large\boxed{\frac{\pi }{2}~\frac{(\frac{\pi^{2}\sqrt{q}}{8})^{2n}}{(2n)!}=q^n~\sqrt{\frac{p}{q}}~\frac{(\frac{p}{q})^{2n}}{2^{2n}(2n)!}=q^n~\sqrt{\frac{p}{q}}~\frac{(\frac{p}{q})^{2n}}{2.4.6...(4n)}}


pour obtenir la majoration voulue il suffit de justifier que \Large\boxed{\forall n~~,~~\int_{0}^{1}(1-t^{2})^n cos(\frac{\pi }{2}t)dt~<~1} sauf erreur bien entendu

Posté par
tanb56re : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 08:55

Je vois, c'est beaucoup plus clair maintenant, merci beaucoup !
Mais donc, ai-je besoin de procéder avec une intégration par parties pour montrer que \int_{0}^{1}{(1-t^{2})^{n}cos(\frac{\pi }{2}t)dt} < 1  ? (par récurrence je pense que ça marcherait aussi, avec l'initialisation qui vaudra 2/pi dans ce cas précis)

Posté par
tanb56re : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 09:08

D'ailleurs je viens de me rendre compte d'une erreur, ce n'est pas \int_{0}^{1}{(1-t^{2})^{n}cos(\frac{\pi }{2}t)dt} mais \int_{0}^{1}{(1-t^{2})^{2n}cos(\frac{\pi }{2}t)dt}, excusez moi pour la confusion

Posté par
carpediemre : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 10:33

tanb56 @ 06-05-2023 à 22:26

Pour répondre à votre question, un polynôme est pair si il vérifie : P(-X) = P(X)
certes mais il suffit de montrer que tous ses monomes sont pairs

puisqu'une somme de fonctions (im)paires est (im)paires

quant à la suite elhor_abdelali m'a devancé :
tanb56 @ 06-05-2023 à 22:26

Donc pour la première question, 1-t^2 est positif ou nul sur [0,1] et cos(pi*t/2) est aussi positif ou nul, donc l'ensemble sera positif.
oui et on peut même majorer facilement ces deux fonctions aussi

et alors que peut-on dire de l'intégrale d'une fonction majorée par un réel ?

et pour le facteur de l'intégrale il fallait aussi le bricoler ... comme l'a fait elhor ...

Posté par
tanb56re : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 10:48

carpediem @ 07-05-2023 à 10:33


et alors que peut-on dire de l'intégrale d'une fonction majorée par un réel ?


Si une fonction est intégrable et est majorée par un réel sur un intervalle donné, alors l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle existe et est finie. Donc si f(x) est une fonction continue sur un intervalle [a,b] et est majorée par une constante M, alors l'intégrale de f(x) sur ce segment existe et est bornée par M(b-a).

Posté par
carpediemre : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 11:19

ben voila !!

Posté par
tanb56re : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 11:32

Merci beaucoup !

Posté par
carpediemre : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 12:36

de rien

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Irrationnalité de pi 07-05-23 à 22:07

\bullet Pour établir la majoration \Large\boxed{\forall n~~,~~\int_{0}^{1}(1-t^{2})^{2n} cos(\frac{\pi }{2}t)dt~<~1}

on peut aussi remarquer que \Large\boxed{\forall n~,~\forall t\in[0,1]~~,~~0\leqslant(1-t^{2})^{2n}\leqslant1~~;~~0\leqslant\cos(\frac{\pi }{2}t)}

et donc \Large\boxed{\forall n~~,~~0\leqslant\int_{0}^{1}(1-t^{2})^{2n}\cos(\frac{\pi}{2}t)dt~\leqslant~\int_{0}^{1}\cos(\frac{\pi}{2}t)dt~=\frac{2}{\pi}~<~1}.


\bullet Je ne connais pas la suite des questions de l'exercice mais avec l'encadrement \Large\boxed{\forall n~~,~~0<I_n<\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{\pi^{2}\sqrt{q}}{8})^{2n}}{(2n)!}}

on montre facilement que \Large\boxed{\lim~I_n=0} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
tanb56re : Irrationnalité de pi 08-05-23 à 21:01

C'est très gentil de votre part de compléter !
Mon travail rejoint un peu le votre. Ce que j'ai fait pour établir la majoration, c'est que j'ai utilisé le théorème de la strict positivité de l'intégrale, puis ai appliqué la contraposée, qui marche très bien dans ce cas-ci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Irrationnalité de pi 08-05-23 à 23:58

C'est un plaisir tanb56

L'exercise est intéressant et le titre est ambitieux ! Peux-tu poster le reste des questions ?

Posté par
lakere : Irrationnalité de pi 09-05-23 à 16:35

Bonjour à tous, bonjour elhor_abdelali,
Il existe ici même sur l' un fil de niveau terminale où l'on démontre l'irrationalité de \pi^2 en suivant les méthodes de Charles Hermite.
Si tu es intéressé je posterai le lien

Posté par
jeansebre : Irrationnalité de pi 09-05-23 à 16:50

Bonjour
Je suis preneur. J'en suis resté à la preuve de Niven, qui n'est pas du niveau terminale.

Posté par
lakere : Irrationnalité de pi 09-05-23 à 16:54

Bonjour jeanseb,
Voici : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (TS).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Irrationnalité de pi 09-05-23 à 18:09

Grand merci pour le lien lake

Bonjour jeanseb

Posté par
jeansebre : Irrationnalité de pi 14-05-23 à 20:59

Merci Lake!
Bonjour Elhor!


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