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Irrationnalité/nombres complexes

Posté par
helioss 24-12-23 à 15:32

Bonjour, je bloque à plusieurs questions d'un devoir,
je joins mes recherches, pouvez vous m'aidez s'il vous plaît, merci beaucoup


Pour tout complexe non nul z et tout entier naturel n, on pose:

\mathit{I_n(z)} = \int_{-1}^{1}{\frac{(1 - t^2)^n}{n!}exp(tz) dt}

1.2. Soit r un réel strictement positif et z un complexe non nul. Montrer que la suite (r^nI_n(z))_{n\epsilon N} converge vers 0.
     j'ai reussi à montrer que la suite est décroissante et minorée par
    0 puis je suis bloqué. Je n'arrive pas non plus à faire un  
   encadrement qui me semble utile

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Irrationnalité/nombres complexes 24-12-23 à 16:14

Bonjour,

il me semble (sauf erreur) que l'intégrale se majore en module par 2\frac{e^{Re(z)}}{n!}

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 24-12-23 à 16:49

Bonjour, comment avez-vous fait ?

J'ai seulement :
r^n\int_{-1}^{1}{\frac{e^{tz}}{(n+1)!}dt}\geq r^nI_n(z)

r^n(\frac{e^z-e^{-z}}{z*(n+1)!})\geq r^nI_n(z)
Puis en passant au module:

\frac{2}{(n+1)! * |z|} \geq |I_n(z)|
Donc j'en déduit que (I_n(z))_{n\epsilon N} converge vers 0, mais que dire de (r^nI_n(z))_{n\epsilon N} ?

Merci

Posté par
Balamre : Irrationnalité/nombres complexes 25-12-23 à 10:10

Bonjour,

On a $|I_n|\displaystyle \leqslant \frac{1}{n!} \int^1_{-1} |1-t^2|^ne^{t\mathrm{Re}(z)} \mathrm{d}t$

Or pour tout $t\in[-1,1]$ on a $|1-t^2|^n \leqslant 1$ et $e^{t\mathrm{Re}(z)} \leqslant e^{|\mathrm{Re}(z)|}$

D'où $|I_n|\displaystyle \leqslant \frac{2e^{|\mathrm{Re}(z)|}}{n!}$
et donc $|r^n I_n| \leqslant \displaystyle 2e^{|\mathrm{Re}(z)|}\frac{r^n}{n!}$

Cela te permet de conclure.

Bonne journée.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Irrationnalité/nombres complexes 25-12-23 à 20:33

Oui Balam c'est bien la valeur absolue de la partie réelle de z

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 29-12-23 à 19:44

Bonsoir,
On me demande ensuite une relation entre I_{n+2}(z),I_{n+1}(z),I_n(z)
J'ai fait par IPP mais je n'aboutis pas :
I_{n+2}(z) = \int_{0}^{1}{(1-t^2)^{n+2}\frac{exp(tz)}{(n+2)!}dt}
I_{n+2}(z) = \int_{0}^{1}{(1-t^2)^{n+1}\frac{exp(tz)}{(n+2)!}*(1-t^2)dt}
I_{n+2}(z) = \int_{0}^{1}{(1-t^2)^{n+1}\frac{exp(tz)}{(n+2)!}dt} - \int_{0}^{1}{(1-t^2)^{n+1}\frac{exp(tz)}{(n+2)!}*t^2dt}
I_{n+2}(z) = \frac{I_{n+1}(z)}{n+2} - \int_{0}^{1}{(1-t^2)^{n+1}\frac{exp(tz)}{(n+2)!}*t^2dt}

Puis j'ai essayé plein de choses qui ne menaient à rien

Merci de votre aide

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 29-12-23 à 20:15

salut

on te dit que z n'est pas nul

donc dans les IPP il faut poser u(t) = le facteur de exp (tz) et v'(t) = e^{tz}

on dérive u et on intègre v ... et ainsi de suite deux fois ...

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 30-12-23 à 00:23

Bonsoir, j'ai réessayer plusieurs fois mais toujours rien :

I_{n+2}(z) = \int_{-1}^{1}{\frac{d(e^{tz}\frac{1}{z})}{dt}*\frac{(1-t^2)^{(n+2)}}{(n+2)!}dt}
Par IPP:
I_{n+2}(z) =\frac{-1}{z}\int_{-1}^{1}{e^{tz}\frac{(n+2)(1-t^2)^{n+1}(-2t)}{(n+2)!}dt}
I_{n+2}(z) =\frac{-1}{z}\int_{-1}^{1}{e^{tz}\frac{(1-t^2)^{n+1}(-2t)}{(n+1)!}dt}
Par IPP:
I_{n+2}(z) =\frac{1}{z^2}\int_{-1}^{1}{e^{tz}\frac{[(n+1)(1-t^2)^n(-2t)(-2t) +(1-t^2)^{n+1}(-2)}{(n+1)!}dt}
I_{n+2}(z) =\frac{2I_{n+1}(z)}{z^2} -\int_{-1}^{1}{e^{tz}\frac{(1-t^2)^n(4t^2)}{n!}dt}

le 4t^2 me gène

Merci de votre aide!

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 30-12-23 à 09:37

*Erreur je voulais écrire :

I_{n+2}(z) = - \frac{2I_{n+1}(z)}{z^2} - \frac{1}{z^2}\int_{-1}^{1}{e^{tz}\frac{(1-t^2)^n *4t^2}{n!}dt}

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 30-12-23 à 11:27

4t^2 = 4(t^2 - 1) + 4

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 30-12-23 à 13:48

Ohlala je suis trop bête !!
Merci beaucoup !!!!

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 01-01-24 à 01:22

Bonsoir, j'aimerais de dernières indications pour la fin de ce dm, merci de votre aide, je joins mes recherches.

On a montré que
-  Soit r un réel strictement positif et  z un complexe non nul. Montrer que la suite (r^nI_n(z))_{n\epsilon N} converge vers 0
-I_{n+2}(z)= \frac{-(4n+6)}{z^2}I_{n+1}(z) -\frac{4}{z^2}I_{n}(z)
-pour tout entier naturel n, il existe un polynôme A_n
à coefficients entiers et de degré n, tel que pour tout
complexe non nul z,I_n(z) = \frac{exp(z)A_n(z) - exp(-z)A_n(-z)}{z^{2n+1}}
- Q[i]  est un sous-corps de et que Z[i] est un sous-anneau de
-  tout élément ω de  Q[i] peut s'écrire ω =\frac{Z}{m}, où  Z est un élément de  Z[i] et  m un entier naturel non nul

- On suppose qu'il existe un complexe non nul z tel que  z et   e^z sont éléments de Q[i] . On note z = x + iy, avec x, y réels.
-   On a aussi l'existence d'entiers naturels a, b, c, d et d'éléments A, B, C, D de Z(i) tels que
(z,exp(z),z^{-1},exp(-z)) = (\frac{A}{a}, \frac{B}{b},\frac{C}{c},\frac{D}{d})
- L'existence d'un entier naturel non nul k tel que pour tout entier n non nul, k tel que k^nI_n(z) est élément de Z(i)

- et enfin l'existence d'un entier n_0 tel que I_n(z) = 0 pour n ≥n_0.




On choisit dans ]0.1[ tel que \delta |y| < \frac{\pi}{3}

Montrer que pour
n\geq n_0: \int_{0}^{1}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}= 0
et pour n:
\int_{0}^{\delta}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}\geq \frac{1-(1-\delta )^{n+1}}{2(n+1)}

|\int_{\delta }^{1}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}|\leq (1-\delta ^2)^nch(x)





J'ai seulement une idée pour la première mais aucune pour les deux autres. J'ai tenté de "développer" le ch(xt) et je me retrouver à quelque chose qui s'apparente à l'intégrale [tex]I_n(z)[\tex] mais les bornes me dérangent.

J'espère donc que vous saurez me donner des indications, merci beaucoup !!

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 01-01-24 à 09:28

vu ce qui précède et les résultats intermédiaires j'écrirai plutôt \cosh(tx) en fonction de l'exponentielle et je dirai que \cos (ty) est la partie réelle de e^{ity}

et en combinant le tout on devrait faire apparaitre e^{tz} avec z = x + iy ...

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 01-01-24 à 09:28

carpediem @ 01-01-2024 à 09:28

vu ce qui précède et les résultats intermédiaires j'écrirai plutôt \cosh(tx) en fonction de l'exponentielle et je dirai que \cos (ty) est la partie réelle de e^{ity}

et en combinant le tout on devrait faire apparaitre e^{tz} avec z = x + iy ...

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 17:57

Bonsoir, grâce à vos aides j'ai tenté les calculs depuis hier, voici où j'arrive :

\int_{0}^{1}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}
=\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{xt}+e^{-xt}}{2}cos(yt)dt}
=\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{xt}}{2}cos(yt)dt} + \int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{-xt}}{2}cos(yt)dt}
=\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{xt}}{2}Re(e^{iyt})dt} + \int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{-xt}}{2}Re(e^{iyt})dt}
=Re(\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{zt}}{2}dt} +\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{-zconjuguét}}{2}dt})
=Re(\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{zt}}{2}dt} -\int_{0}^{-1}{(1-t^2)^n\frac{e^{zconjuguét}}{2}dt})
=Re(\int_{0}^{1}{(1-t^2)^n\frac{e^{zt}}{2}dt} +\int_{-1}^{0}{(1-t^2)^n\frac{e^{z_{conjugué}t}}{2}dt})


Puis je n'arrive pas à reconstituer In(z) pour avoir 0 car j'ai le conjugué de z et z.

merci de votre aide

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 18:35

PS : pour le conjugué de z en latex : \bar {z} et \dfrac pour des fractions plus grandes

je ne comprends pas pourquoi tu changes les bornes et j'aurai plutôt écrit :

\int_0^1 (1 - t^2)^n \cosh (xt) \cos (yt) dt = Re \left[ \int_0^1 (1 - t^2)^n \dfrac 1 2 (e^{xt} + e^{-xt}) e^{iyt} dt \right] = \dfrac 1 2 Re \left[ \int_0^1 (1 - t^2)^n (e^{tz} + e^{-t \bar z} ) dt \right] = \dfrac 1 2 Re \left[ I_n(z) + I_n( -\bar z) \right]

ensuite peut-être faut-il utiliser les hypothèses et les résultats précédents :

helioss @ 01-01-2024 à 01:22

On a montré que
-  Soit r un réel strictement positif et  z un complexe non nul. Montrer que la suite (r^nI_n(z))_{n\epsilon N} converge vers 0
-I_{n+2}(z)= \dfrac{-(4n+6)}{z^2}I_{n+1}(z) -\dfrac{4}{z^2}I_{n}(z)
-pour tout entier naturel n, il existe un polynôme A_n  à coefficients entiers et de degré n, tel que pour tout complexe non nul z,I_n(z) = \dfrac{exp(z)A_n(z) - exp(-z)A_n(-z)}{z^{2n+1}}
- Q[i]  est un sous-corps de et que Z[i] est un sous-anneau de
-  tout élément ω de  Q[i] peut s'écrire ω =\frac{Z}{m}, où  Z est un élément de  Z[i] et  m un entier naturel non nul

- On suppose qu'il existe un complexe non nul z tel que  z et   e^z sont éléments de Q[i] . On note z = x + iy, avec x, y réels.
-   On a aussi l'existence d'entiers naturels a, b, c, d et d'éléments A, B, C, D de Z(i) tels que (z,exp(z),z^{-1},exp(-z)) = (\dfrac{A}{a}, \dfrac{B}{b},\dfrac{C}{c},\dfrac{D}{d})
- L'existence d'un entier naturel non nul k tel que pour tout entier n non nul, k tel que k^nI_n(z) est élément de Z(i)  phrase pas claire : que vient faire le k au milieu

- et enfin l'existence d'un entier n_0 tel que I_n(z) = 0 pour n ≥n_0.


On choisit dans ]0.1[ tel que \delta |y| < \frac{\pi}{3}

Montrer que pour n\geq n_0: \int_{0}^{1}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}= 0 et pour n:  \int_{0}^{\delta}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}\geq \dfrac{1-(1-\delta )^{n+1}}{2(n+1)}

|\int_{\delta }^{1}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}|\leq (1-\delta ^2)^nch(x)

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 18:40

Ok merci pour l'info

Pardon je rectifie:

k*, k^nI_n(z)[i]

Oui j'aimerais utiliser le fait que In(z) est nulle pour n\geq n_0. Mais le conjugué me pose un problème, je ne vois quel précédent résultat permet de conclure.

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 18:55

ça me semble dangereux d'utiliser la fonction ln avec un complexe ...

d'autre part je me rends compte qu'il manque le facteur n! dans mon résultat

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 18:59

Non pardon, c'est I_n(z) qui nulle à partir d'un certain rang d'après les résultats précédents

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 19:14

De plus je remarque aussi que je crois que vous avez fait une erreur car I_n(z) a pour bornes -1,1 et non 0,1, à moins que je me trompe sinon pardon. C'était pour ça que j'avais un changement de variable u=-t pour changer les bornes.

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 20:17

effectivement "je mets" trompé dans les bornes !!

{\red n!}\int_{-1}^1 (1 - t^2)^n \cosh (xt) \cos (yt) dt = n! Re \left[ \int_{-1}^1 (1 - t^2)^n \dfrac 1 2 (e^{xt} + e^{-xt}) e^{iyt} dt \right] = n! \dfrac 1 2 Re \left[ \int_{-1}^1 (1 - t^2)^n (e^{tz} + e^{-t \bar z} ) dt \right] = n! \dfrac 1 2 Re \left[ I_n(z) + I_n( -\bar z) \right]

mais bon ça ne fait pas avancer plus ...

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 02-01-24 à 20:49

Désolé d'encore vous embêtez mais :

I_n(z) a pour bornes -1 et 1

Mais on calcule ici une intégrale qui a pour bornes 0 et 1 : \int_{0}^{1}{(1-t^2)^nch(xt)cos(yt)dt}

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 03-01-24 à 18:00

Personne pour m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 03-01-24 à 19:08

par parité des fonctions cos et cosh on intègres de -1 à 1 et on en prend la moitié

et ainsi on se ramène à I_n ...

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 03-01-24 à 21:20

Bonsoir, ok super merci !

Maintenant, comment conclure quant à I_n(-\bar{z}) ? Car si on sait que I_n(z) est nulle à partir d'un certain rang, je ne sait rien sur I_n(-\bar{z})

Peut-être peut on dire que I_n(\bar{z}) = \bar{I_n(z)}??


Merci

Posté par
MattZolotarevre : Irrationnalité/nombres complexes 06-01-24 à 17:39

Il y a une façon un peu longue et pénible de justifier l'égalité...

Soit n\geqslant n_0
On sait que \dfrac{1}{n!}\int_{-1}^1(1-t^2)^n\exp(zt)\mathrm{dt}=0.
On en déduit bien sûr que :
\int_{-1}^1(1-t^2)^n\exp(zt)\mathrm{dt}=0.

En effectuant le changement de variable u=-t dans l'intégrale ci-dessus, on trouve également que l'on a :
\int_{-1}^1(1-t^2)^n\exp(-zt)\mathrm{dt}=0.

En additionnant ces deux intégrales (nulles), on a donc :

\int_{-1}^1(1-t^2)^n(\exp(zt)+\exp(-zt))\mathrm{dt}=0, ce qui se réécrit :

\int_{-1}^1(1-t^2)^n[\exp(xt)\dot\exp(\mathrm{i}yt)+\exp(-xt)\dot\exp(-\mathrm{i}yt)]\mathrm{dt}=0.

En passant à la partie réelle, il vient :
\int_{-1}^1(1-t^2)^n[\exp(xt)\dot\cos(yt)+\exp(-xt)\dot\cos(-yt)]\mathrm{dt}=0.

Puis, comme \cos est paire, on a simplement :
\int_{-1}^1(1-t^2)^n[\exp(xt)+\exp(-xt)]\cos(yt)\mathrm{dt}=0,

d'où, en divisant par 2 pour faire apparaître le ch, et en utilisant la parité de la fonction t\longmapsto (1-t^2)^n\dot ch(xt)\cos(yt), le résultat :
\int_{0}^1(1-t^2)^n\dot ch(xt)\cos(yt)\mathrm{dt}=0

Posté par
heliossre : Irrationnalité/nombres complexes 06-01-24 à 19:10

Super merci beaucoup ! J'aurais dû penser à partir dans ce sens !

Posté par
carpediemre : Irrationnalité/nombres complexes 06-01-24 à 19:27

merci MattZolotarev pour ce coup du changement de variable car je ne voyais pas comment conclure !

Posté par
MattZolotarevre : Irrationnalité/nombres complexes 06-01-24 à 20:54

Pardon, des points sont apparus ici et là dans mon rendu latex, je voulais faire des produits (honte à moi), il faut que je révise mon LaTeX !

Avec plaisir carpediem

Posté par
malou Webmasterre : Irrationnalité/nombres complexes 29-01-24 à 11:54

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