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Irréductibilité d'un polynôme de F_2

Posté par
H_aldnoer
01-03-08 à 10:15

Bonjour,

je dois montrer que le polynôme X^4+X+1\in\mathbb{F}_2[X] est irréductible.

Il est réductible sur \mathbb{F}_2 est équivalent à il a une racine dans une extension L de \mathbb{F}_2 de degré inférieur ou égale à 2.

Soit donc L/\mathbb{F}_2 une extension telle que [L:\mathbb{F}_2]\le 2.
Si [L:\mathbb{F}_2]=1, ça signifie qu'il a une racine dans \mathbb{F}_2 ce qui n'est pas le cas.
Si [L:\mathbb{F}_2]=2, on sait qu'il existe une et seule sous-extension de \bar{\mathbb{F}}_2/\mathbb{F}_2 de degré 2 : c'est \mathbb{F}_{2^2}/\mathbb{F}_{2}. Ce qui signifie que L=\mathbb{F}_{2^2}.
Si x\in L, alors x vérifie x^4=x.
Donc x^4+x+1=2x+1=1.

Il est donc bien irréductible.
Est-ce correct?

Posté par
lolo217
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 10:37

oui !

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 10:41

Merci!

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 14:05

Juste pour revenir un peu sur cette preuve :
Comment est-t-on sur que L/\mathbb{F}_2 est une sous-extension de \bar{\mathbb{F}}_2/\mathbb{F}_2 ??

Posté par
lolo217
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 14:25

Les éléments de l sont algébriques .

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 14:29

Oui on a L/\mathbb{F}_2 qui est une extension finie donc algébrique.
Et ?
Il faut bien montrer que \mathbb{F}_2 est une clôture algébrique de L ?

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 14:29

euh \bar{\mathbb{F}}_2 !

Posté par
lolo217
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 20:08

L  est finie c'est donc un F_2^b  qui est donc dans la clôture de  F_2.

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 20:13

Que L soit finit vient du fait que c'est un \mathbb{F}_2-ev de dimension finie ??

Posté par
lolo217
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 20:19

oui

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 20:22

L est finie et contient \mathbb{F}_2, ça suffit ?

Posté par
lolo217
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 20:23

oui tout corps fini est un Fp^d  s'il contient F2  c'est un F2^d

Posté par
H_aldnoer
re : Irréductibilité d'un polynôme de F_2 01-03-08 à 20:24

pfff oui c'est vrai.
Désolé pour ces questions bidon!



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