Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Irréductibilité sur Q

Posté par
Serbiwni
22-05-22 à 12:17

Bonjour,

Je souhaite montrer que le polynôme suivant est irréductible dans \Bbb Q : f(x)=x^3+ax+1a > 0 est un entier naturel.

Je dispose de pas mal de résultats sur l'irréductibilité des polynômes. En particulier, un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible sur un corps F ssi il n'admet pas de racine mais un raisonnement par l'absurde où l'on suppose que le polynome admet une racine rationnelle est plutôt compliqué.
En regardant le polynome dans \Bbb Z[x] et en s'intéressant à son équivalente irréductibilité par le Lemme de Gauss, on constate que le critère d'Eisenstein ne marche pas ici car il n'existe pas d'irréductible qui divise 1.  

J'aimerais donc bien un peu d'aide avec cette question, merci d'avance (je précise que l'on ne souhaite pas simplement argumenter que les racines du polynomes sont irrationnelles : exemple avec x^2-2 où il ne suffit pas de dire que \sqrt{2} n'appartient pas à \Bbb Q mais il faut plutot raisonner par l'absurde, dans le polynome que je propose, c'est un peu plus délicat... ).

Posté par
carpediem
re : Irréductibilité sur Q 22-05-22 à 12:31

salut

si le rationnel p/q  est racine de p alors p^3 + apq^2 + q^3 = 0

donc p divise q et q divise p ...

si d est un diviseur premier de p (ou q) alors il est diviseur de q (ou p) ...

Posté par
GBZM
re : Irréductibilité sur Q 22-05-22 à 12:34

Bonjour,

Citation :
un raisonnement par l'absurde où l'on suppose que le polynome admet une racine rationnelle est plutôt compliqué.

Ah bon ? As tu essayé ? Moi je trouve ça plutôt simple. Suppose que \dfrac{p}[q} est une racine avec q entier >0 et p entier premier avec q ...

Posté par
GBZM
re : Irréductibilité sur Q 22-05-22 à 12:35

\dfrac{p}{q}

Posté par
GBZM
re : Irréductibilité sur Q 22-05-22 à 12:35

Doublon avec carpediem !

Posté par
Serbiwni
re : Irréductibilité sur Q 22-05-22 à 12:53

Merci à vous, j'étais persuadé que a était rationnel ce qui me bloquait.

Dans votre raisonnement, pour des raisons de rigueur, dois-je supposer que p est non-nul puis vérifier que 0 n'est pas solution ?

Posté par
carpediem
re : Irréductibilité sur Q 22-05-22 à 12:58

tu peux traiter le cas p = 0 à part évidemment ... en toute rigueur ...

mais c'est évident donc il est bien de le dire au moins ...

de même écrire p/q implique évidemment implicitement que q n'est pas nul ...

et comme GBZM l'a fait on peut même le supposer positif ... et donc strictement positif ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !