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Niveau terminale
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Isométries Planes

Posté par
pfff 28-04-20 à 08:20

Bonjour je bloque un peu sur cette question. Merci

ÉNONCÉ
Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre I, tel que Mes((\widehat{\vec{AB},\vec{AC}})=\frac{\pi }{2}.
Etant donné un point M dusegment [BD] distinct de B et D, on apelle N,P et Q les projétés orthogonaux de M respectivement sur les droites (AB), (AD) et (DC).

1.On considère les isométries suivantes :
r la rotation de cntre I et d'angle -\frac{\pi }{2} ;
r' la rotation de centre D et d'angle -\frac{\pi }{2} ;
t la translation de vecteur \vec{AD}

a) Déterminer r'o t(A) et r' o t(B)
b)Préciser la nature de r'ot
c) En déduire que r' o t = r

2-a) Déterminer t(N)
b) Démontrer que r(N)= P
c)En déduire que \vec{NA}.\vec{NB}= \vec{PA}.\vec{PD}
d)Démontrer que \vec{NA}.\vec{MC}=\vec{NA}.\vec{NB} et \vec{PA}.\vec{MC}=\vec{PA}.\vec{PD}
e) En déduire que (MC) ⊥ (NP)

3. Soit M' le symétrique par rapport à la droite (NP).
a) Démontrer que les points N, P et M' appartiennent au cercle de diamètre [AM].
b) Prouver que les points M, C et M' sont alignés.
c) En déduire que le point M' appartient au cercle circonscrit au carré ABCD

c'est la question tout en bleu que j'arrive pas à faire j'ai mis l'énoncé complet au cas ou.
Merci

Posté par
carpediemre : Isométries Planes 28-04-20 à 08:59

salut

il nous faudrait un dessin ...

Posté par
pgeodre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:01

??
Il y a déjà une contradiction dans le début d'énoncé :

Citation :
Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre I, tel que Mes(AB, AC) = /2

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:02

carpediem @ 28-04-2020 à 08:59

salut

il nous faudrait un dessin ...


comment je peux faire ça...... ou bien je peux envoyer une photo de mon dessin ?

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:03

pgeod @ 28-04-2020 à 09:01

??
Il y a déjà une contradiction dans le début d'énoncé :
Citation :
Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre I, tel que Mes(AB, AC) = /2


j'ai pas bien compris

Posté par
carpediemre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:13

un dessin  montre immédiatement l'erreur ...

Posté par
Cherchellre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:29

En corrigeant l'erreur (vecteur AC au lieu de AD) tu as :
t(N) = Q
r'(Q) = P (à prouver mais c'est simple) donc r' o t (N) = P soit r(N) = P

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:38

Isométries Planes

effectivement je me suis trompé en écrivant c'est D à la place de C

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 09:42

Et c'est bien la seule faute j'ai tout revérifié à part les fautes de frappe tout est ça.

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 11:03

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 28-04-20 à 12:22

Bonjour,
la rotation r transforme A en D et B en A et donc le segment [AB] et tout ce qu'il contient en le segment [DA] dans les mêmes proportions

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 12:56

Cherchell @ 28-04-2020 à 09:29

En corrigeant l'erreur (vecteur AC au lieu de AD) tu as :
t(N) = Q
r'(Q) = P (à prouver mais c'est simple) donc r' o t (N) = P soit r(N) = P


merci j'ai pu trouver

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 13:00

Je voudrais un peu d'aide pour cette question . Merci
c)En déduire que \vec{NA}.\vec{NB}= \vec{PA}.\vec{PD}

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 16:02

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 28-04-20 à 16:36

répétition : la rotation r transforme ... en ....
et donc c'est terminé. (nota et PA.PB = PB.PA bien entendu ...)

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 16:48

elle transforme le segment AB et tout ce qu'il contient en [DA] mais  je vois pas encore comment faire

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 16:53

oh j'ai vu. r transforme aussi N en P et comme \vec{PA}.\vec{PD} = \vec{PD}.\vec{PA} alors \vec{NA}.\vec{NB}= \vec{PA} .\vec{PD}

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 21:26

au fait j'ai besoin d'une confirmation

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 28-04-20 à 21:47

oui
r transforme
N en P, et P en A donc   \vec{NB}   en   \vec{PA}
N en P, et A en D donc   \vec{NA}   en   \vec{PD}

et par conséquent   \vec{NB}.\vec{NA}   en  \vec{PA}.\vec{PD}   égaux

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 21:56

ok merci.
Un indice pour le :
d)Démontrer que \vec{NA}.\vec{MC}=\vec{NA}.\vec{NB} et \vec{PA}.\vec{MC}=\vec{PA}.\vec{PD}

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 28-04-20 à 22:22

\vec{MC}   se projette en ?? sur (AB)

ou ce qui revient au même développer   \vec{NA}.\left(\vec{MN}+\vec{NB}+\vec{BC}\right)

et pour l'autre, du même genre de l'autre coté, sur (AD)

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 22:58

j'ai pas encore trouver en quoi se projette (vecteur)MC sur (AB).
Afin de trouver que dois je faire ?

Posté par
pfffre : Isométries Planes 28-04-20 à 23:34

J'ai compris
\vec{NA}.\left(\vec{MN}+\vec{NB}+\vec{BC}\right) = \vec{NA}.\vec{NB} car \vec{MN}+\vec{BC}=\vec{O}

de même pour l'autre. Je suppose que vous êtes allez dormir, donc à demain pour la suite. Bonne nuit

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 00:14

\vec{MN} + \vec{BC} n'est certainement pas le vecteur nul !!
(déja en longueur MN < BC !!)

et développer ça veut dire développer !!!

\vec{NA}.\left(\vec{MN}+\vec{NB}+\vec{BC}\right) = \vec{NA}.\vec{MN}+\vec{NA}.\vec{NB}+\vec{NA}.\vec{BC}
et examiner chacun de ces produits scalaires

quant à la projection d'un vecteur sur une droite en lien avec le produit scalaire , c'est du cours : Un cours complet sur le produit scalaire

"exemple 3 :
Isométries Planes

la projection des vecteurs \vec{MN}, \vec{PQ} \;ou \; \vec{RS} sur la droite (AB) est le vecteur \vec{CD}

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 00:15

bonne nuit et à demain

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 00:20

Je pense avoir trouvé le 3-a)

on a \vec{MC}.\vec{NP}=\vec{MC}.(\vec{NA}+\vec{AP})
                                                              =\vec{MC}.\vec{NA} + \vec{MC}.\vec{AP}
                                                              =\vec{MC}.\vec{NA} - \vec{MC}.\vec{PA} or d'après 2-d) \vec{MC}.\vec{PA} = \vec{PA}.\vec{PD} = \vec{NA}.\vec{NB} donc

\vec{MC}.\vec{NP} = \vec{NA}.\vec{NB} - \vec{NA}.\vec{NB}
                                                    =0

donc (MC) ⊥ (NP)

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 00:25

Ah vrai dire votre message de 00:14 j'ai pas bien saisi vivement qu'on se retrouve demain

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 07:18

j'ai refais la question ou je m'étais gouré. A vous de vérifier

2-d) on a : \vec{NA}.\left(\vec{MN}+\vec{NB}+\vec{BC}\right) = \vec{NA}.\vec{MN}+\vec{NA}.\vec{NB}+\vec{NA}.\vec{BC}
                                                                                    =   \vec{NA}.\vec{0} +\vec{NA}.\vec{NB} + \vec{NA}.\vec{0}
                                                                                    =\vec{NA}.\vec{NB}

donc \vec{NA}.\vec{MC}=\vec{NA}.\vec{NB} et je pense bien que c'est la même chose pour l'autre

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 08:59

le vecteur MN n'est pas nul !!

c'est le produit scalaire NA.MN qui l'est parce que les vecteurs NA et MN sont orthogonaux.
idem pour BC

OK pour le 2-e) (et pas 3-a )
(en disant que dans la 2d on a aussi MC.NA = NA.NB et en citant la 2c pour PA.PD = NA.NB)

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 09:22

un petit retour sur la 2d :
réviser la fiche que je t'ai donnée
la demonstration qu'on a faite avec la décomposition de \vec{MC} = \vec{MN}+\vec{NB}+\vec{BC} et les produits scalaires nuls est exactement celle qui est faite dans ce cours pour la projection d'un vecteur sur le support de l'autre
citation :

Théorème :
Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} deux vecteurs.
Soient C' et D' les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB).
Alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}
Isométries Planes

comme c'est une propriété de cours il est inutile de le redémontrer

Isométries Planes

le vecteur \vec{MC} se projette sur la droite (AB) support du vecteur \vec{NA}, en le vecteur \vec{NB} et donc immédiatement en vertu de ce théorème là : \vec{NA}\cdot\vec{MC} = \vec{NA}\cdot \vec{NB}

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 16:27

donc dois je dire que \vec{NA}.\vec{MN} = 0 car orthogonaux ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 17:46

oui. et pareil pour NA.BC

ou comme je le disais en dernier invoquer directement la projection de MC sur (AB) pour obtenir instantanément sans aucun calcul NA.MC = NA.NB

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 18:20

merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 18:30

de rien
va pour les questions suivantes ? (3a etc)
nécessitant de compléter le figure.

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 18:36

ok je complète et je ramène une autre figure

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 21:33

Bonsoir voici la figure. On voit bien qu'ils appartiennent à un même cercle mais je ne sais pas comment démontrer
Question : 3. Soit M' le symétrique par rapport à la droite (NP).
a) Démontrer que les points N, P et M' appartiennent au cercle de diamètre [AM].
img1]

Isométries Planes

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 21:53

essentiellement le cours de 4ème : Triangles rectangles et cercles circonscrits

et puis ... tout diamètre d'un cercle est un axe de symétrie de ce cercle !!

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 21:57

donc je dois montrer que NPM' est un triangle rectangle?

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 22:01

propriétés élémentaires des symétries ...
(pareil, cours de 5ème cette fois, voire même 6ème ! )

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 22:36

quel rabaissement.
a vrai dire je vois pas encore comment faire

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 22:46

le cercle de diamètre AM, diagonale du rectangle ANMP est quoi pour ce rectangle ?

bref, totalement évident....
et je n'en dirais pas plus vu l'évidence des points qui sont sur ce cercle là

rien de tout le reste de la figure et aucune question précédente ne sert à quoi que ce soit là dedans
rien que un rectangle ANMP quelconque, le cercle et le point M' et c'est tout.

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 23:01

tu vois mieux comme ça ?
Isométries Planes
(pourquoi, étant donné un rectangle ANMP quelconque, et le cercle de diamètre AM, on a N, P et M' sont sur le cercle de diamètre AM)

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 23:02

Considérons le triangle rectangle en N, MPN.
Donc le triangle MPN est inscrit dans le cercle de diamètre [PN ] comme M' est le symétrique de M par rapport à (PN) alors PM=PM'
P et N appartenant au cercle ainsi M' appartient au cercle de diamètre PN=AM

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 23:14

il faut commencer par "prouver" que que NP est un diamètre !!
en effet les diagonales d'un rectangle sont égales et se coupent en leur milieu donc JA=JM=JN=JP
et le cercle "de diamètre AM" est en fait le cercle circonscrit au rectangle ANMP (ma question de 22h46 : que représente ce cercle pour le rectangle)

tout cercle est symétrique par rapport à n'importe quel de ses diamètre
donc le point M', symétrique du point M du cercle par rapport au diamètre NP, est sur le cercle

et c'est tout

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 23:27

J'ai pas bien suivi la démonstration pour prouver que NP est un diamètre. S'il vous plait

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 29-04-20 à 23:34

???
relis.
que ne comprends tu pas là dedans ???

Posté par
pfffre : Isométries Planes 29-04-20 à 23:40

oui j'ai vu.
Les diagonales d'un rectangle sont égales et se coupent en leur milieu donc JA=JM=JN=JP alors JA-JM=JP-JN
                                              JA+MJ=JP+NJ
                                                     MA=NP

donc NP est aussi un diamètre  

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries Planes 30-04-20 à 00:18

que de complications inutiles !!!

le cercle de diamètre [AM] (le segment [AM]) a pour centre le milieu J de [AM] (évident)
ANMP est un rectangle donc JA=JM = JN = JP
donc les points A,M,N,P sont sur un même cercle (évident , définition d'un cercle !!!! ensemble des points à la même distance du centre)
qui est par définition (car A et M dessus) celui de diamètre [AM]
et comme le centre J, N et P sont alignés (diagonale, évident) une droite (NP) qui passe par le centre J d'un cercle s'appelle un diamètre (évident, définition)
et comme les points N et P sont sur ce cercle , le segment [NP] est un diamètre (définition)

y a pas besoin de faire des calculs, pour ça !!!

bref à ce niveau (Terminale ???) il doit être considéré comme évident que le cercle qui a pour diamètre (le segment, pas la mesure) une diagonale d'un rectangle est le cercle circonscrit à ce rectangle et que l'autre diagonale est aussi un diamètre (segment, pas mesure) de ce cercle !!

sans qu'il soit besoin de bêtifier à faire une démonstration de niveau 6ème/5ème sur les définitions de "cercle", "diamètre d'un cercle", diagonales d'un rectangle et leur propriété

par contre il faut le dire :

le cercle de diamètre [AM] est en fait circonscrit au rectangle ANMP et par conséquent [NP] est un diamètre de ce cercle (évident à ce niveau , encore faut il le dire)

tout point M d'un cercle a pour symétrique par rapport à un diamètre (NP) un point M' du cercle (tout diamètre est un axe de symétrie d'un cercle)

et la 3a est terminée avec ces deux phrases entièrement rédigées telles quelles sans besoin d'y rajouter quoi que ce soit, et encore moins des calculs.

visiblement tu es épuisé pour ne pas être capable de voir de telles évidences
à demain.

Posté par
pfffre : Isométries Planes 30-04-20 à 06:42

Merci

Posté par
pfffre : Isométries Planes 30-04-20 à 06:55

b) Prouver que les points M, C et M' sont alignés.
évidemment sur la figure ils sont alignés. Voici ma démonstration

d'après 2-e) (CM)⊥(NP) or M' est le symétrique de M par (NP) donc (CM')⊥(NP)
ainsi (CM) et (CM') sont parallèles et forment un angle plat d'ou M,C et M' sont alignés

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