Bonjour

Le plus simple est de le faire par récurrence. Commencer par montrer que f(0)=0, puis, par récurrence, que f(n)=n pour tout n.

On montrera f(0)=0 par la methode f(0)0 et 0f(0)?
On a   est un bon ordre donc admet un plus petit element  a =0 parsuite 0x. Prenons  en particulier x=f(0) parsuite  0f(0).
Mais comment on demontre que f(0)0?

Bonjour,
Je ne suis pas certaine que c'est le plus simple, mais on peut démontrer f(0) = 0 par l'absurde.
En posant f(0) = k , on a pour tout n de f(n) k
Si k 0 , on a k 1 .
D'où pour tout n de f(n) 1 .
0 n'aurait pas d'antécédent, ce qui contredit la surjectivité de l'isomorphisme.

Merci beaucoup

Bonjour,
Inutile de faire appel au bon ordre pour affirmer que 0 est le plus petit élément de .
Par contre, le bon ordre peut être utilisé pour une démonstration sans récurrence :

Soit f un isomorphisme de (;) dans (;).
Soit E l'ensemble des n de tels que f(n) n .

Si E est non vide alors il admet un plus petit élément.
En s'appuyant sur ce plus petit élément, quelques lignes de démonstration permettent d'aboutir à une contradiction.

D'où E vide et f = Id .

Rebonjour

>Sylvieg Astucieux ton truc! mais convoquer le bon ordre ici, (avec tout de suite l'inévitable discussion sur "avec ou sans axiome du choix") c'est quand même un peu beaucoup! En revanche on peut dire que "l'on sait" que dans toute partie non vide a un plus petit élément.

Bonjour,

muni de l'ordre usuel est naturellement bien ordonné, sans faire appel à l'axiome du choix.

C'est bien ce que j'avais écrit!

D'accord

Bonsoir , en essayant de faire cela:

Sylvieg @ 13-03-2017 à 15:17

:
Soit  E  l'ensemble des  n  de tels que  f(n) n .

Si  E  est non vide alors il admet un plus petit élément.
En s'appuyant sur ce plus petit élément, quelques lignes de démonstration permettent d'aboutir à une contradiction.

D'où  E  vide et   f = Id  .

Sylvieg @ 12-03-2017 à 19:07

Bonjour,
Je ne suis pas certaine que c'est le plus simple, mais on peut démontrer  f(0) = 0  par l'absurde.
En posant  f(0) = k , on a  pour tout  n  de    f(n) k
Si  k 0 , on a  k 1 .
D'où   pour tout  n  de    f(n) 1 .
0 n'aurait pas d'antécédent, ce qui contredit la surjectivité de l'isomorphisme.

salut

juste une question pour clarifier la situation :

quand vous parler d'isomorphisme f de (N, <) vous sous-entendez donc que : si m < n alors f(m) < f(n) ?

Oui car si f est isomorphosme alors par definition f est croissante et bijective
Et la condition que f est croissante nous donne

Donc il faudrait juste ajouter à l'enoncé ""un isomorphisme qui respecte l'ordre"" c'est ça?

Normalement lorsqu'on écrit que est un isomorphisme,
il n'y a rien d'autre à supposer que préserve l'ordre puisqu'à priori, "" est la seule espèce de structure énoncée sur .
Cela va sans dire, mais bon, comme dirait la capitaine Haddock, ça va encore mieux en le disant.

Voir 1.7 dans
L'écriture " de (;) dans (;) " m'avait semblé explicite ...

Quand on lit

Bonjour,

Du boulot : Soit et des ensembles ordonnés et une application de dans . Soit et les graphes associés respectivement aux ordres et . Conformément à la conception bourbakiste (E. III. 5 et E. IV. 4 et 6), l'on dit que est un isomorphisme de sur si est bijective et si



toutes les fois que .

Bonjour ThierryPoma
C'est précisément à ces références auxquelles je pensais 😉

ouais bof ... l'argument formaliste .... bof très bof ...


par contre l'argument de jsvdb et de Sylvieg me convainc beaucoup plus :

isomorphisme = bijection entre structures (ensemble + quelque chose)

et dans le cas présent ensemble muni d'un ordre ...

merci




je n'ai effectivement pas tilté sur le mot même "isomorphisme" ...

Bah ! ThierryPoma n'a fait que généraliser ce que j'ai dit. Très bourbakiste certes, mais bon 😋... en fait j'aime bien 👍

je sais bien que T-P a formalisé la réponse ... mais bon ...

trop de formalisme tue la pensée ...

Là, on est bien d'accord.

Mais il aurait encore pu être plus général en prenant pour et des espèces de structures quelconques sur et (c'est-à-dire des graphes où E et E' interviennent de façon prépondérante) et finir avec la même conclusion. Et là le formalisme est poussé à bout.

Peu lisible, peu intuitif et peu imagé, cela dégouterait la plupart des élèves et même des étudiants. J'ai eu du mal (et en ai toujours un peu d'ailleurs) avec le chapitre IV de la théorie des ensembles de N.B. : structures et isomorphismes. C'est le plus raide de la collection. Ceci dit, bien assimilé, on peut être à même de comprendre toute la mathématique moderne.

Mais à contrario,  je ne sais pas si tu as remarqué le nombre apparent de définitions d'isomorphismes qui existe : entre espace vectoriels, entre espaces vectoriels normés, entre EV topologiques, entre groupes, entre ensembles ordonnés, entre anneau, entre algèbres, entre espaces topologique etc etc et j'en passe et des meilleurs.

A chaque structure, on donne une définition qui commence par : " On appelle isomorphisme entre bla bla une application qui vérifie bla bla". A chaque fois, okay, on comprend qu'il s'agit d'une bijection mais à chaque nouvelle définition d'un isomorphisme, il faut se dire "attend, zut, hier, on m'a parlé de tel isom, avant-hier de tel autre etc etc, et celui là maintenant, bon alors finalement, pu***n, c'est quoi un isomorphisme ?".

Ça donne l'impression qu'il y en a plein de définitions à apprendre alors qu'en réalité il n'y a qu'une, mais comme il y a de multiples structures sur laquelle elle s'applique, on a cette impression-mirage de multiplicité. C'est tout l'objet du chapitre IV ci-dessus mentionné que d'expliquer que, justement, il n'y a qu'une seule notion de morphisme et une seule d'isomorphisme. Si on sait cela, ça soulage vachement la mémoire de comprendre qu'un morphisme est simplement une application entre deux ensembles, et qui conserve les structures qu'ils possèdent et qu'un isomorphisme est un morphisme bijectif dont la réciproque est également un morphisme.

Par exemple : et deux groupes. Ici, + et +' sont en fait des graphes inclus respectivement dans et dans et qui vérifient les axiomes de groupes.

Un morphisme entre et sera donc une application de G vers G' qui vérifiera que l'on traduit classiquement par .

Autre exemple : et deux espaces topologiques. Un morphisme f de vers est simplement une application qui vérifie que pour tout élément . Un tel morphisme entre espace topologique s'appelle application ouverte.

Si maintenant f vérifie que pour tout , ce morphisme porte le nom d'application continue.

Si maintenant f est à la fois ouverte et continue et bijective, c'est un isomorphisme d'espace topologique.

et c'est là où la capacité d'abstraction fait la différence entre celui qui comprend le principe et celui qui a des oeillères ...

... et pour mettre aussi mon grain de sel, un isomorphisme d'espaces topologiques s'appelle homéomorphisme!

D'ailleurs, si on était conséquents, un morphisme d'espace topologique devrait être une fonction ouverte puisqu'on a pris depuis le début la conservation de la structure pat image directe! Etonnant, non?

Effectivement Camélia, bonjour !

Après on peut décliner les morphismes à toutes les sauces (meilleure avec quelques grains de sel )
Endomorphisme : morphisme à l'intérieur d'un même espace (avec ou non la même structure)
Difféomorphisme : isomorphisme dans les deux sens
Epimorphisme : morphisme surjectif.

Morphisme : abrégé du mot homomorphisme. Ce qui permet de mettre en avant la différence entre les préfixes " ἴσος (isos) = égal" et " ὁμός (omos) = semblable, pareil" qui dérive de " ὅμοιος (omeios)=semblable" qui donne encore "homéo" (... et juliette).

L'iso est donc plus fort que l'homo (ou que l'homeo) en terme de ressemblance. Donc, dommage d'avoir appelé  ὁμοιόμορφος (homéomorphe) quelque chose qui est ἴσομορφος (isomorphe), donc plus fort. Petite régression d'ἐτυμολογία  (etymologie).

_{Bref, à quand la notion d'isosexualité ?}

Camélia @ 15-03-2017 à 16:33

puisqu'on a appris depuis le début la conservation de la structure pat image directe!  Etonnant, non?