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Isomorphisme

Posté par
Theo92 07-11-19 à 11:26

Bonjour à tous.

On se place sur  E=C([0,1],\mathbb{R}) l'espace des fonctions continues de  [0,1]\longrightarrow \mathbb{R}  muni de la norme  \lVert f \rVert_{\infty} = sup_{x \in [0,1]} \lvert f(x) \rvert .
On pose  T(f) \in E  définie par  T(f)(x) = \int_{0}^{1} e^{tx} f(t) dt

1)  \forall x \in [0,1], f(x) = 1  , calculer  Tf
2)  Montrer que  T \in \mathcal{L}(E)
3)  Déterminer  \lVert T \rVert
4)  En déduire que pour tout  \lambda \in \mathbb{R} ,  \lvert \lambda \rvert < (e-1)^{-1} ,  Id_{E} - \lambda T   est un isomorphisme de E

1) Directement, avec f identiquement égale à 1, on a  T(f)(x) = \int_{0}^{1} e^{tx}dt  =  \frac{e^x -1}{x}
Il est dit que  T \in E , donc continue. Un problème en 0 d'après le résultat de l'intégrale, mais dissipé si on calcule diretement  T(f)(0) = \int_{0}^{1} e^{0}dt = \int_{0}^{1} dt = 1.  est-ce correct?

2) la linéarité de T provient de celle de l'intégrale.

3) On a  \lvert T(f) \rvert = \lvert \int_{0}^{1} e^{tx} f(t) dt \rvert \leq \int_{0}^{1} \lvert e^{tx} \rvert \lvert f(t) \rvert dt \leq \lVert f \rVert _{\infty} \int_{0}^{1} \lvert e^{tx} \rvert dt = \lVert f \rVert _{\infty} \frac{e^x -1}{x} = \frac{e^x -1}{x}   car  \lVert f \rVert _{\infty} = 1

d'où  \lVert T \rVert _{\infty} =sup_{f \in E} \lvert Tf \rvert  =  \frac{e^x -1}{x} . est-ce correct?

En revanche, pour la 4, je sèche.

Je vous remercie pour votre aide

Posté par
Ulmierere : Isomorphisme 07-11-19 à 11:44

Bonjour,

pour la 1), il n'y a pas de problème car exp(x) = 1 + x + o(x) au voisinage de 0

Pour la 3), c'est faux. Il ne doit plus y avoir de x à droite, et au contraire du ||f||, pour calculer un majorant M de ||T(f)||/||f||.
Cela te donne un majorant (M) de ||T|| mais absolument pas le valeur ! Pour avoir la valeur, il faut ou bien exhiber directement une fonction continue f tq ||T(f)|| = M, ou bien trouver une suite de fonctions continues tq ||T(fn)||M

L'idée est que si T/ est de norme < 1, lambda est une valeur résolvante de T et tu peux constater que, puisque C[0,1] est une algèbre de Banach (la norme d'opérateur est une norme d'algèbre), la série \sum_{n\geq 0} ||T/\lambda||^n converge, vers \frac1{1-||T/\lambda||} qui est fini, et l'opérateur \sum_{n\geq 0} (T/\lambda)^n est bien défini, continue, inversible, d'inverse Id-T/\lambda.

Posté par
Ulmierere : Isomorphisme 07-11-19 à 11:45

Le dernier paragraphe concerne la 4)

Posté par
luzakre : Isomorphisme 07-11-19 à 12:25

@ Theo92
Pas d'accord quand tu dis T\in E : ce n'est pas du tout ce qui écrit !

T est linéaire, ça c'est facile et donc T\in\mathcal{L}(E).
Il te reste à démontrer que T\in\mathcal{L}_c(E) et c'est tout à fait différent.

Posté par
carpediemre : Isomorphisme 07-11-19 à 20:16

salut

et quand je vois une division par x je me pose des questions ... quand il n'y a rien qui suit ...

la question 4/ donne la réponse à la question 3/ ...

Posté par
Theo92re : Isomorphisme 10-11-19 à 04:28

Bonjour.
Je vous remercie pour votre aide.

Je reviens sur la 3)
On peut écrire que  \lvert T(f )\rvert = \lvert \int_{0}^{1} e^{tx}f(t)dt \rvert \leq \int_{0}^{1} \lvert e^{tx} \rvert \lvert f(t) \rvert dt \leq \lVert f \rVert _{\infty} \int_{0}^{1} \lvert e^{tx} \rvert dt  , mais je ne comprends pas le passage entre les deux dernières inégalités avec l'introduction de  \lVert f \rVert _{\infty}.

Au-delà, on a  \lVert Tf \rVert_{\infty} = sup_{f \in E} \lvert Tf \rvert \leq \lVert f \rVert _{\infty} sup_{x \in [0,1]} \int_{0}^{1} e^{tx} dt = (e-1) \lVert f \rVert _{\infty}.

D'où  \lVert T \rVert_{\infty} = sup_{f \neq 0} \frac{\lVert Tf \rVert_{\infty}}{\lVert f \rVert_{\infty}} = (e-1)

Est-ce correct?
Je vous remercie pour vos réponses.

Posté par
luzakre : Isomorphisme 10-11-19 à 09:08

|T(f)| ne veut rien dire  : c'est quoi la valeur absolue (ou le module) d'un élément de E ?

Pour calculer \lVert T(f)\rVert tu dois chercher la borne supérieure de \{|T(f)(x)|,\;x\in[0,1]\} qui n'a rien à voir avec ton \sup_{f\inE}|Tf|. Mais un majorant suffira si tu peux majorer le quotient des normes infinies.

Posté par
Theo92re : Isomorphisme 10-11-19 à 22:21

Bonsoir et merci luzak,

si je comprends,  on a  avec votre définition et celle que j'ai pu trouver,

\lVert Tf \rVert _{\infty} = sup_{x \in [0,1]} \lvert T(f)(x) \rvert
et

\lVert T \rVert _{\infty} = sup_{\lVert f \rVert _{\infty} \leq 1} \lVert T(f) \rVert = sup_{\lVert f \rVert _{\infty = 1}} \lVert T(f) \rVert  =  sup_{ f \neq 0} \frac{\lVert T(f) \rVert}{\lVert f \rVert}

donc avec f = 1, on a  Tf(x) = \int_{0}^{1} e^{tx} dt = \frac{e^x -1}{x}  qui trouve son maximum sur [0,1] au point x=1,

soit  \lVert Tf \rVert _{\infty} = sup_{x \in [0,1]} \lvert T(f)(x) \rvert = e - 1

et pour finir,

\lVert T \rVert _{\infty} =  sup_{ f \neq 0} \lVert T(f) \rVert} = e-1

Merci pour votre réponse.

Posté par
luzakre : Isomorphisme 10-11-19 à 22:37

C'est quoi ce \lVert T\rVert_{\infty} ? Ton énoncé ne définit pas cette notation ?

Ton "avec f=1" ne sert à rien ! Tu dois calculer la borne supérieure, pour \lvert f\rVert_{\infty}=1 de  \lVert T(f)\rVert_{\infty} .

La bonne solution consiste à majorer \dfrac{\lVert T(f)\rVert_{\infty}}{\lVert T(f)\rVert_{\infty}} pour f\in E puis à montrer que ce majorant est atteint pour une fonction au moins.

Posté par
Theo92re : Isomorphisme 10-11-19 à 23:20

Je suis désolé, je n'ai pas de cours qui définisse les notions clairement et je ne sais pas majorer  \lVert Tf \rVert \leq C.\lVert f\rVert

Je colle donc à l'énoncé, avec ce que j'en comprends.

Est-ce que  \lVert T \rVert = sup_{f \neq 0} \frac{\lvert Tf \rVert}{\lVert f \rVert}  ?
Il s'agit d'une norme triple.

Et  \lVert Tf \rVert = sup_{x \in [0,1]} \lvert Tf(x) \rvert}

On nous dit que f est identiquement égale à 1, donc  \lVert Tf \rVert = sup_{x \in [0,1]} \lvert \int_{0}^{1} e^{tx} dt \rvert = sup_{x \in [0,1]}  \lvert \frac{e^x - 1}{x} \rvert  atteint pour x=1 et égal à  e-1

On peut conclure que  \lVert T \rVert = e-1

Merci de votre patience.

Posté par
luzakre : Isomorphisme 10-11-19 à 23:53

Ta définition de "norme triple" est correcte.

Mais il ne faut prendre f identiquement égale à 1 que pour vérifier que le majorant (qui n'est pas encore établi comme borne supérieure) est atteint : c'est une propriété importante des normes triples d'être atteinte pour un vecteur de la sphère unité, de sorte qu'il suffit de trouver un majorant qui est atteint. La recherche directe d'une borne supérieure me semble ici plutôt difficile !

Il existe des vecteurs de norme infinie 1 qui sont différents de l'application constante. Tu ne peux pas la prendre à priori.
La question 1. est juste un exemple qui ne donne peut-être pas tous les majorants.

Bref, pour finir l'exo à ta place (mais tu as presque tout fait) :
\lVert T(f)(x)\rVert\leq\Bigl| \lVert f\rVert_{\infty}\int_0^1 \mathrm{e}^{xt}\mathrm{d}t\Bigr|\leq\lVert f\rVert_{\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}x\leq\lVert f\rVert_{\infty}(e-1) (à ce stade, f est arbitraire dans E)
Il faudrait justifier l'utilisation de x en dénominateur : mais c'est forcément défini puisque tu intègres une fonction continue sur un segment.

Cette majoration prouve que T est continue.
En utilisant maintenant la fonction égale à 1 tu montres que le majorant trouvé est atteint donc c'est la borne supérieure cherchée, donc la norme triple. cherchée.

Posté par
Theo92re : Isomorphisme 11-11-19 à 00:14

Merci beaucoup luzak.

Entre autres choses, je n'avais pas compris pourquoi on peut écrire  \lVert T(f)(x) \rVert \leq \lVert f \rVert_{\infty} \int_{0}^{1}e^{tx}dt  pour le membre de la première inégalité,  c'est à dire pourquoi on peut extraire f(t) de l'intégrale.

\lVert f \rVert_{\infty}  est le supremum de f sur [0,1]. C'est alors une constante que l'on met en facteur de l'intégrale, sans faire porter l'intégration sur f(t), mais seulement sur  e^{tx}

Voilà ma toute dernière interrogation.

Je vous remercie infiniment pour toute votre aide, et vous souhaite une bonne fin de week-end.

Posté par
luzakre : Isomorphisme 11-11-19 à 08:03

Ce n'est pas une interrogation !
Puisque \forall(x,t)\in[0,1]^2,\;|f(t)\mathrm{e}^{xt}|\leq\lVert f\rVert_{\infty}\mathrm{e}^{xt} tu as l'inégalité des intégrales.

Posté par
Theo92re : Isomorphisme 11-11-19 à 09:10

Bonjour luzak.

Un grand et définitif merci. Je crois que je me suis (pas mal) embrouillé justement parce que depuis le début,je n'arrivais pas à justifier cette non-interrogation. Toutes vos remarques ont éclairci l'exercice, car je n'ai pas encore de notions d'analyse fonctionnelle.

Je vous souhaite une excellente journée.


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