Bonjour.
Je suis confrontée à un exercice très complexe en probabilités, je ne vois pas comment commencer pour traiter cet exercice...
On considère le jeu suivant. On donne au premier joueur un nombre ~ Unif[0,1]. Le joueur découvre ce nombre, il peut choisir de le garder, auquel cas son score final sera ce nombre , ou bien il peut choisir de retenter sa chance, auquel cas il se verra attribuer un nombre ~ Unif[0,1], indépendant de .
Similairement, le deuxième joueur reçoit ~ Unif[0,1] indépendante de qu'il peut choisir de garder, sinon il se verra attribuer ~ Unif[0,1], indépendante de .
On précise qu'au moment où il joue, un joueur ne connaît pas les tirages de son adversaire, il ne pourra que comparer son score final à celui de son adversaire. Le gagnant est évidemment le joueur qui obtient le score le plus grand.
Une stratégie naturelle consiste à garder le premier tirage si et seulement si il dépasse un seuil . On note le score obtenu en suivant cette stratégie.
1. Montrer que la variable possède une densité que l'on explicitera.
2. Exprimer la probabilité de gain pour le premier joueur lorsqu'il adopte la stratégie de seuil , et lorsque le deuxième joueur adopte la stratégie de seuil 0. En déduire un optimal lorsque le deuxième joueur rejette systématiquement le premier tirage.
3. On suppose que le joueur 1 adopte la stratégie de seuil , tandis que le joueur 2 adopte la stratégie de seuil .
Montrer que la probabilité que le joueur 1 l'emporte est :
.
En déduire que :
.
On note . Expliquer pourquoi la stratégie de seuil est optimale.
Merci d'avance pour toute indication...